Cuando en Fisimat se ordenaron los temas de matemáticas se abarcaron todos los tópicos relacionados a las matemáticas básicas, esas matemáticas que se ven en bachillerato o introducción a la universidad. En algunas universidades le llaman también “preuniversitario” un curso que se toma antes de ingresar a la universidad que por lo general tienen una duración de 4 a 6 meses dependiendo la modalidad de estudio. (cuatrimestral o semestral).

En Laplacianos nos enfocaremos a tocar temas como el álgebra lineal, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, series de Fourier, modelado y simulación de sistemas, y tópicos de control entre otros, pero no sin antes de hablar del álgebra lineal. 😎

El álgebra lineal como su nombre lo dice “lineal” es decir, profundizar las propiedades fundamentales sobre las lineas rectas. En Álgebra lineal se estudian a fondo los temas de vectores y matrices, pues son el corazón de esta rama de las matemáticas. Algo curioso es que la palabra “matriz” fue acuñada en 1850 por el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814 – 1897) esto con el fin de distinguir las matrices de los determinantes. Ya que la palabra “matriz” quería que asumiera el significado de “madre de los determinantes”.

Sir William Hamilton
El estudio de vectores comenzó hace más de un siglo por el matemático irlandés sir William Hamilton (1805 – 1865). De ahí viene una investigación sobre los planos y el espacio donde descubrió los “cuaterniones“. Pero eso no es todo, el Físico inglés Lord Kelvin mencionaba que el uso de los vectores eran poco útiles para las sociedades y campos de estudio. Pero realmente estaba equivocado, pues en todas las ramas de la física clásica y moderna se representan mediante el lenguaje de los vectores.

Otro de los grandes contribuidores de esta área de las matemáticas, fue sin duda el gran Arthur Cayley un matemático inglés que desarrolló en 1857 el álgebra de matrices, es decir, las reglas que de alguna forma ilustran la manera en la cual se suman y multiplican las matrices. El gran Cayley está considerado también como el matemático más prolífico en la historia, tan solo detrás de Euler y Cauchy. Además de desarrollar la teoería de matrices, Cayley fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica, teoría de las determinantes,  teoría de curvas y superficies.

Más adelante en nuestro índice de contenidos, veremos el método famoso de Cayley-Hamilton.

Aquí tienes algunos temas que abordamos en Laplacianos.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Método de Gauss Jordan 3×3

Vectores y Matrices

Los vectores y Matrices son temas base para la comprensión del álgebra lineal, es por ello que en esta sección del tema se abordarán explicaciones y ejercicios resueltos desde la suma de una matriz hasta su multiplicación, así como otras operaciones de gran relevancia y aplicación en las matemáticas.

Suma de Matrices

Hay formas de realizar una suma correcta entre matrices, así como el cumplir cuidadosamente ciertas reglas. En este tópico aprenderás a sumar matrices.

Multiplicación de un Escalar por una Matriz

Así como hay sumas, también hay multiplicación. Aunque en este artículo aprenderás a multiplicar un escalar por una matriz.

Producto Escalar

El producto escalar, también llamado producto punto o producto interno. Es un proceso de la operación entre matrices o vectores. El resultado siempre es un escalar.

Multiplicación de Matrices

La multiplicación de matrices es un método importante de estudio e investigación,  ya sea el producto de una matriz de 2×2, de 3×3 o del tamaño que sea, siempre y cuando sea compatible, todo esto y más , se ve,  y analiza en este artículo.

La Transpuesta

La transpuesta de una matriz es aquella matriz que ha pasado el proceso de intercambiar los renglones por las columnas, en este articulo también vemos la característica principal de las matrices simétricas y sus teoremas para que sean comprobadas por medio de la transpuesta.

La Matriz Adjunta

La matriz adjunta es un proceso matemático que se ocupa de aplicar cofactores para después tener que aplicar la transpuesta, con eso se obtiene la matriz adjunta, un proceso muy importante para poder encontrar la matriz inversa.

Matriz Inversa

La matriz inversa es un proceso muy interesante de cálculo, porque se basa en el principio completo de las matrices, desde el cálculo de la determinante, la transpuesta y la matriz adjunta con ayuda de los cofactores.

Las Determinantes

Las determinantes se destacan de ser un proceso matemático muy importante para la solución de sistemas de ecuaciones lineales, a pesar de ser descubierta un siglo más atrás que las matrices. La evolución de las determinantes tuvo mucho del matemático alemán Gottfried Leibniz que junto con Isaac Newton, las emplearon a las ecuaciones lineales simultáneas. Aún a su contribución el matemático francés Cauchy es a quien se le considera el padre de las determinantes.

Determinantes

Aprende a como resolver determinantes paso a paso, conociendo sus propiedades y haciendo de su utilización para la solución de problemas más complejos.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un un método matemático para facilitar la solución de ecuaciones lineales de nxn , a pesar de que suele ser muy tedioso el cálculo cuándo las ecuaciones son de n >3, no deja de ser un método interesante.

Vectores en R2 y R3

Sabemos muy bien que el análisis de vectores partió con la invención de los cuaterniones de Hamilton, a pesar de su gran aplicación para la exploración del espacio físico, eran demasiado complicados entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Fue entonces gracias al gran Físico estadounidense Josiah Gibbs (1839 – 1903) que decidieron comenzar el estudio vectorial por separado. 

Magnitud y Dirección de un Vector

Aprende a como obtener la longitud o módulo y dirección de un vector paso a paso, se realizan varios ejercicios con el fin de comprender lo que ocurre cuando la dirección de un vector no está definida por el arco tangente, y realizamos la suposición de acuerdo al método gráfico.

Ángulo entre dos vectores

Aprende a calcular el ángulo entre dos vectores, y ver cuando entre dos vectores sus ángulos forman 180° es decir, son paralelos , y cuando entre ambos vectores forman 90° , es decir son vectores perpendiculares u ortogonales, todo esto y más en este artículo de ángulo entre vectores.

Producto Cruz

El producto cruz es la operación matemática que se realiza entre dos vectores, también es llamado como el producto vectorial, posee aplicaciones muy importantes en Física, Cálculo Vectorial y en áreas muy específicas como Estática, Dinámica y Resistencia de materiales, si tu intención es aprender más sobre el producto cruz, debes visitar el link del título de esta definición.