Producto Cruz - Ejercicios Resueltos

¿Qué tal amig@s? Hace poco habíamos publicado en el blog sobre el tema del Producto Punto o también llamado Producto escalar y advertíamos que era una operación muy importante en el álgebra lineal, física, cálculo vectorial entre otras áreas. Hoy traemos un artículo que complementará el aprendizaje con las operaciones vectoriales, pues hablaremos del producto cruz o también llamado como producto vectorial, como su nombre lo dice es un producto entre vectores que a diferencia del producto punto en la que obteníamos un escalar como resultado, en esta operación obtenemos un nuevo vector de dicho producto. 😎

Sus aplicaciones son muy amplias como en las áreas ya mencionadas, sin embargo debemos contrastar su aplicación en los diversos campos de estudios. El producto cruz fue definido por el matemático  Sir William Rowan Hamilton en sus publicaciones Philosophical Magazine a mediados del siglo XVIII, cabe mencionar que el proceso para llevar a cabo el producto cruz o vectorial, solamente está definido en R^3 es decir en el espacio (x,y,z).

⚡ Fórmula del Producto Cruz

Curiosamente la definición del producto vectorial, es similar a la operación para calcular determinantes, tal como lo vimos en las publicaciones anteriores. Por lo que familiarizarse con la siguiente operación será muy pero muy fácil , aunque debemos de tener en cuenta que en si no es un determinante puesto que i, j y k, no son números. 😎

Sea:

$\displaystyle \begin{array}{l}u={{a}_{1}}i+{{b}_{1}}j+{{c}_{1}}k\\v={{a}_{2}}i+{{b}_{2}}j+{{c}_{2}}k\end{array}$

Entonces:

$\displaystyle u\times v=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
{{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\
\end{matrix} \right|$

Por lo que al desarrollar:

$\displaystyle u\times v=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
{{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\
\end{matrix} \right|=i\left| \begin{matrix}
{{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\
\end{matrix} \right|-j\left| \begin{matrix}
{{a}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{c}_{2}} \\
\end{matrix} \right|+k\left| \begin{matrix}
{{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{b}_{2}} \\
\end{matrix} \right|$

Lo que es lógico que al resolver la determinante, tengamos que:

$\displaystyle u\times v=({{b}_{1}}{{c}_{2}}-{{c}_{1}}{{b}_{2}})i+({{c}_{1}}{{a}_{2}}-{{a}_{1}}{{c}_{2}})j+({{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{b}_{1}}{{a}_{2}})k$

Definamos a C como el vector resultado del producto cruz de u y v, entonces

$\displaystyle C=u\times v$

Se lee "C es igual a U cruz V".

🔸 Propiedades del Producto Cruz

Para establecer de mejor manera las propiedades del producto cruz, es importante dar a conocer sus propiedades. Para ello denotamos tres vectores u, v y w en R^3 y sea α un escalar, entonces.

1.- La ley conmutativa no es aplicable, es decir que no es válida. Por ejemplo si tenemos U x V ≠ V x U, pero si es aplicable si afirmamos que:

U x V = - V x U

2.- Si el producto es multiplicado por un escalar α, obedece a la ley asociativa, es decir:

α(U x V) = (αU) x V = A x (αB) = (UxV)α

3.- El producto vectorial obedece la ley distributiva de la suma, por ejemplo:

U x (V + W) = (U x V) + (U x W)

Para calcular el sentido del vector resultante entre el producto cruz de dos vectores, se emplea la regla de la mano derecha, que se explicará en otro artículo.

📃 Ejercicios Resueltos del Producto Cruz

Bien, es momento de resolver algunos ejercicios para dejar claro éste tema y podamos por fin entender el proceso.

$\displaystyle \begin{array}{l}u=2i+4j-5k\\v=-3i-2j+k\end{array}$

Solución: 

Ordenando el producto cruz

$\displaystyle u\times v=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
2 & 4 & -5 \\
-3 & -2 & 1 \\
\end{matrix} \right|=i\left| \begin{matrix}
4 & -5 \\
-2 & 1 \\
\end{matrix} \right|-j\left| \begin{matrix}
2 & -5 \\
-3 & 1 \\
\end{matrix} \right|+k\left| \begin{matrix}
2 & 4 \\
-3 & -2 \\
\end{matrix} \right|$

Realizamos las operaciones tal y como se hacen con las determinantes , entonces tenemos que:

$\displaystyle u\times v=(4-10)i-(2-15)j+(-4+12)k$

Por lo que el resultado, es el siguiente vector:

$\displaystyle u\times v=-6i+13j+8k$

Bien, veamos ahora otro ejemplo.

$\displaystyle \begin{array}{l}A=i-3j+4k\\B=-2i+j+k\end{array}$

Solución: 

Ordenando las determinantes, para aplicar la regla de multiplicación.

$\displaystyle A\times B=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
1 & -3 & 4 \\
-2 & 1 & 1 \\
\end{matrix} \right|=i\left| \begin{matrix}
-3 & 4 \\
1 & 1 \\
\end{matrix} \right|-j\left| \begin{matrix}
1 & 4 \\
-2 & 1 \\
\end{matrix} \right|+k\left| \begin{matrix}
1 & -3 \\
-2 & 1 \\
\end{matrix} \right|$

Realizando las operaciones básicas de multiplicación:

$\displaystyle A\times B=(-3-4)i-(1+8)j+(1-6)k$

Por lo que el resultado del vector es:

$\displaystyle A\times B=-7i-9j-5k$

Veamos el último ejemplo.

Solución:

$\displaystyle \begin{array}{l}C=2i-7k\\D=-3i-4j\end{array}$

Ordenando nuestro determinante:

$\displaystyle C\times D=\left| \begin{matrix}
i & j & k \\
2 & 0 & -7 \\
-3 & -4 & 0 \\
\end{matrix} \right|=i\left| \begin{matrix}
0 & -7 \\
-4 & 0 \\
\end{matrix} \right|-j\left| \begin{matrix}
2 & -7 \\
-3 & 0 \\
\end{matrix} \right|+k\left| \begin{matrix}
2 & 0 \\
-3 & -4 \\
\end{matrix} \right|$

Realizamos las operaciones en las determinantes de 2x2

$\displaystyle C\times D=(0-28)i-(0+21)j+(-8-0)k$

Reduciendo tenemos

$\displaystyle C\times D=-28i-21j-8k$

Por lo que el vector resultante es:

$\displaystyle C\times D=-28i+21j-8k$

Bien, el proceso del producto cruz o producto vectorial es un proceso muy fácil para poder calcular las operaciones, basta con aprender bien el tema de determinantes y todo se nos hará más sencillo. 😎

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