Cuando hablamos del cálculo vectorial también podemos hacer énfasis en el cálculo multivariable, ya que el cálculo vectorial es una secuencia del cálculo diferencial e integral, el cálculo de una sola variable, recordemos que en el primer curso de cálculo nos sometemos a trabajar solo con una variable. En este curso de cálculo vectorial se trabajan con más de una variable, donde se inician analizando temas de vectores y matrices (lo mismo del álgebra lineal), posterior a ello se observan las derivadas parciales, integrales dobles e integrales triples. 😎

Entonces, será común que observemos funciones de dos o más variables independientes, por ejemplo:

z = f(x,y)

Donde Z, depende tanto de “x” como de “y”.

Esto es aún más interesante, debido a que éstas funciones describen mucho mejor el mundo físico, es por eso que tiene muchísima aplicación y aquí lo corroboramos con algunos ejemplos, así que pon mucha atención para que te des cuenta de la relevancia de ésta rama de las matemáticas.

1.- En termodinámica la presión depende del volumen y la temperatura.
2.- En el electromagetismo, los campos magnéticos y eléctricos son funciones de las tres variables de espacio (x, y, z) y una variable de tiempo.
3.- En el modelado del fluido o flujo de calor el campo de velocidad depende de la posición y el tiempo

Entonces nos damos cuenta que entre más variables tengamos, también significan más dimensiones geométricas. Por eso en Laplacianos estaremos implementando el uso de software.

En el cálculo vectorial existen cuatro operaciones muy importantes, e incluso no puede faltar en cualquier curso de ésta asignatura, entre esas operaciones son el gradiente, el rotacional, la divergencia y el operador laplaciano, asumiendo los tres teoremas más importantes de esta área que son los teoremas de Green, de Stokes y de Gauss.

Aquí tienes el listado de temas que tenemos de Cálculo Vectorial:

Vectores y Matrices

No podemos iniciar un curso de cálculo de varias variables sino hacemos uso de los vectores y matrices, por ello la introducción la haremos con los siguientes temas, nos hemos basado en la metodología del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts), para asignar temas que nos aporten valor.

Vectores, Determinantes y Planos

Como introducción del cálculo vectorial es importante considerar tres puntos, que son: los vectores, los determinantes y planos. Estos son la base principal del entendimiento y comportamiento de muchas funciones.

Producto Punto

La importancia del producto punto, o como lo hemos dicho en otros artículos que también se le asigna el nombre de producto escalar o producto interno, tiene gran importancia en temas vectoriales.

Aplicación del Producto Escalar (Longitud y Ángulos)

Área y Determinantes en 2D

Volúmenes y Determinantes

Producto Cruz

Matrices y Sistema de Ecuaciones

Multiplicación de Matrices

Inversa de una Matriz

Ecuación de los planos

Derivadas Parciales

En esta sección aprenderemos sobre las derivadas de funciones de varias variables, que prácticamente son derivadas similares a los de una variables (la del cálculo diferencial), aunque los usos, reglas y ecuaciones para las derivadas multivariables puedan resultar un poco más complicado.

Derivadas Parciales Algebraicas

Integrales Dobles

En esta sección se toma el estudio de integración de funciones de solo dos variables, con el objetivo de estudiar y analizar dos casos:

1.- Integrales dobles sobre regiones planas.
2.- Integrales de línea o trayectoria sobre regiones curvas.

Aquí también se estudia un caso particular que es sobre el teorema de Green que relaciona las dos tipos de integrales, que no es más que la generalización del teorema fundamental del cálculo.

Teorema de Green

Integrales Triples

En este últipo tópico se hace uso de la integral triple que juega un papel muy importante para comprender las regiones sólidas del espacio, o las integrales de linea sobre una curva en 3D.
Aquí también se estudia el proceso del teorema de Stokes y finalmente el teorema de la divergencia o más conocida como el teorema de Gauss.

Teorema de Stokes

Teorema de Gauss