Las determinantes sin duda es la operación más usada e importante del álgebra lineal, tiene mucha aplicación en la solución de sistema de ecuaciones lineales, así como operaciones para calcular la matriz inversa, entre otras que iremos viendo a través del presente post. Por lo que en esta sección abordaremos las diversas operaciones de determinantes.

Para ello veamos la siguiente notación matemática de una matriz cuadrada de 2 x 2.

Sea:

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\  {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\  \end{matrix} \right)

La determinante es:

\displaystyle \det A={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}

Una forma muy común de denotar a la determinante, es de la siguiente forma

\displaystyle \left| A \right|

o también por sus componentes

\displaystyle \left| \begin{matrix}  {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\  {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\  \end{matrix} \right|

Más adelante nos vamos a dar cuenta que la matriz A es invertible ( o sea que tiene matriz inversa) si y solo sí su determinante no es igual a cero.

Cuidado con la notación
La notación |A| que significa determinante de A, no debemos confundirla con la notación del valor absoluto de algún número, son cosas muy diferentes. Por ahora en este texto hacemos alusión a la expresión matemática de una determinante.

Ejemplos Resueltos de una determinante de 2×2

Bien, ahora como siempre es mejor tener algunos ejemplos resueltos para darnos cuenta de lo sencillo que es realizar una operación de esta manera. Sabemos que la fórmula está dada al comienzo del post.

Ejemplo 1.- Encuentre la determinante de la siguiente matriz.

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  3 & 4 \\  2 & -5 \\  \end{matrix} \right)

Solución:

Si tenemos en cuenta la siguiente fórmula:

\displaystyle \det A={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}

Entonces aplicando nos daremos cuenta del resultado.

\displaystyle \det A={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}=(3)(-5)-(4)(2)=-15-8=-23

Por lo que el resultado es -23.

Ejemplo 2.- Encuentre la determinante de la siguiente matriz.

\displaystyle B=\left( \begin{matrix}  -3 & -1 \\  5 & -2 \\  \end{matrix} \right)

Solución:

Nuevamente, al aplicar la fórmula tendríamos el siguiente resultado.

\displaystyle \det B=(-3)(-2)-(-1)(5)=6+5=11

Determinante en una matriz de 3×3

Bien, para una determinante de 3×3 las cosas con el procedimiento cambian un poco, así que presta atención a la fórmula.

Sea A la matriz de 3×3:

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\  {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\  {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\  \end{matrix} \right)

Entonces decimos que:

\displaystyle \det A=\left| A \right|={{a}_{11}}\left| \begin{matrix}  {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\  {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\  \end{matrix} \right|-{{a}_{12}}\left| \begin{matrix}  {{a}_{21}} & {{a}_{23}} \\  {{a}_{31}} & {{a}_{33}} \\  \end{matrix} \right|+{{a}_{13}}\left| \begin{matrix}  {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\  {{a}_{31}} & {{a}_{32}} \\  \end{matrix} \right|

Es muy importante observar que en la segunda determinante de 2×2 hay un signo negativo, ese signo debemos de considerarlo SIEMPRE!! Así que no te olvides. Pasemos a los ejemplos.

Ejemplos resueltos de una determinante de 3×3

Ejemplo 3.– Sea la siguiente matriz A, resuelva la determinante.

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  -1 & 2 & 6 \\  3 & 4 & 5 \\  3 & 1 & -2 \\  \end{matrix} \right)

Solución: Tenemos que aplicar sin duda, la fórmula anterior y ver que es lo que ocurre con el proceso de las operaciones.

\displaystyle \det A=\left| A \right|=-1\left| \begin{matrix}  4 & 5 \\  1 & -2 \\  \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix}  3 & 5 \\  3 & -2 \\  \end{matrix} \right|+6\left| \begin{matrix}  3 & 4 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right|

Resolviendo las determinantes de 2×2

\displaystyle \det A=-1\left[ (4)(-2)-(5)(1) \right]-2\left[ (3)(-2)-(3)(5) \right]+6\left[ (3)(1)-(4)(3) \right]

Procedemos a multiplicar

\displaystyle \det A=-1(-8-5)-2(-6-15)+6(3-12)

Seguimos operando.

\displaystyle \det A=-1(-13)-2(-21)+6(-9)=13+42-54

Sumando…

\displaystyle \det A=1

Por lo que la determinante es 1.

Ejemplo 4.-  Sea la matriz B de 3×3 encuentre su determinante.

\displaystyle B=\left( \begin{matrix}  2 & -4 & 1 \\  3 & 0 & 2 \\  1 & 3 & -5 \\  \end{matrix} \right)

Solución: Procedemos a colocar nuestra matriz en su forma de determinantes de 2×2

\displaystyle \det B=\left| B \right|=2\left| \begin{matrix}  0 & 2 \\  3 & -5 \\  \end{matrix} \right|-(-4)\left| \begin{matrix}  3 & 2 \\  1 & -5 \\  \end{matrix} \right|+1\left| \begin{matrix}  3 & 0 \\  1 & 3 \\  \end{matrix} \right|

Ahora procedemos al cálculo

\displaystyle \det B=2\left[ (0)(-5)-(2)(3) \right]+4\left[ (3)(-5)-(2)(1) \right]+1\left[ (3)(3)-(0)(1) \right]

Como resultado de:

\displaystyle \det B=2(0-6)+4(-15-2)+1(9-0)

Luego

\displaystyle \det B=2(-6)+4(-17)+1(9)

Por lo que la determinante es:

\displaystyle \det B=-12-68+9=-71

Propiedades de los determinantes

Hasta ahora hemos visto el desarrollo de determinantes de 2×2 y de 3×3 pero muchos se preguntarán ¿y las determinantes de 4×4 o de 5×5 , 6×6 , nxn? pues bien, el procedimiento es algo similar a los anteriores que en teoría funcionan muy bien, aunque en la práctica es rigurosamente tedioso. Por ejemplo aquí se empiezan a usar cofactores. O sea que implica desarrollar muchísimos pasos, que sin ayuda de algún software sería casi imposible resolver a mano.

Pues bien, para ello tenemos la fortuna de contar con algunas propiedades de determinantes, una de ellas es la siguiente:

Propiedad 1: Sean dos matrices A y B respectivamente de nXn, entonces

det AB = det A * det B

 

O sea que el determinante del producto de A y B es igual al producto de la determinante de A con B

Se pide que el lector de este post, lo demuestre con los ejemplos resueltos, recuerde que la multiplicación de matrices lo puede aprender desde este blog.

Propiedad 2: Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces su determinante es cero.

O sea que si tenemos una matriz por ejemplo de esta forma.

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  -3 & 0 \\  5 & 0 \\  \end{matrix} \right)

Su determinante será Cero.

O si tuviéramos

\displaystyle B=\left( \begin{matrix}  2 & 0 & 1 \\  3 & 0 & 2 \\  1 & 0 & -5 \\  \end{matrix} \right)

También sería cero, porque tenemos un vector columna igual a cero, lo mismo si fuera un vector renglón.

Propiedad 3: Si una matriz tiene dos renglones o columnas iguales, entonces la determinante de la matriz será = 0.

Por ejemplo:

\displaystyle C=\left( \begin{matrix}  2 & 3 & 1 \\  3 & -5 & 2 \\  2 & 3 & 1 \\  \end{matrix} \right)

Observamos dos renglones iguales, el primero y el tercero.

Otro ejemplo:

\displaystyle D=\left( \begin{matrix}  1 & 4 & 1 \\  3 & -5 & 3 \\  2 & 2 & 2 \\  \end{matrix} \right)

Dos columnas iguales, la primera y tercera.

Propiedad 4: Si un renglón o columna de la matriz E es un múltiplo escalar de otro renglón o columna, entonces el determinante de A = 0

\displaystyle E=\left( \begin{matrix}  1 & 4 & 2 \\  3 & -5 & 6 \\  2 & 2 & 4 \\  \end{matrix} \right)

En este ejemplo la tercera columna de la matriz E es dos veces la primer columna, por lo que también decimos que su determinante es cero.