Magnitud y Dirección de un Vector – Ejercicios Resueltos

Hoy traemos un post perteneciente al álgebra lineal y base del cálculo vectorial qué sin duda todo estudiante con deseos de aspirar a ingresar a una ingeniería o terminar el bachiller debería saber, y se trata sobre los vectores, éstos vectores que su principal característica se basa en tener tres puntos, poseer una dirección, magnitud y sentido. 😎

Es muy relevante partir desde allí, ¿por qué? , pues no podemos hacer ninguna operación sino sabemos sus propiedades principales. Antes de enfocarnos de lleno en el tema, debemos advertir que trabajaremos con vectores en el plano y en el espacio (en tres dimensiones).

Definición geométrica de un Vector

Por lo general los vectores los podemos representar gráficamente mediante un segmento de recta dirigido, es decir, colocando un punto inicial y punto final o terminal. Por ejemplo, digamos que tengo un punto inicial A y punto final B, entonces mi segmento de recta dirigido lo puedo expresar de la siguiente forma:

\displaystyle \overrightarrow{AB}

En una gráfica esto quedaría así:

Existe un caso particular en los vectores, por ejemplo el vector cero tiene su magnitud de cero, porque su punto inicial nace del origen y su punto final también termina en el origen; se dice que el vector no tiene dirección, ¿se entiende? Espero que si 😀

Definición Algebraica de un Vector

Bien, así como hemos podido representar a un vector mediante la definición geométrica de un segmento de recta dirigida de un punto a otro, es vital el saber que un vector al estar en un plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Qué es a lo que se le llama componentes de un vector. Por ejemplo el caso anterior que mencionábamos del vector cero, sus componentes serían (0, 0).

Bien, imaginemos un vector que parte del origen o sea su punto inicial está en las coordenadas (0,0) y que el punto final sea en cualquier lado del plano con coordenadas (a,b), entonces tendríamos lo siguiente en gráfica.

Fórmula para encontrar la magnitud de un vector

Pues bien, la forma en como nosotros encontramos la magnitud de un vector es a partir del famoso teorema de pitágoras, donde solo nos importa conocer dos lados del triángulo rectángulo (cateto adyacente y cateto opuesto), dos lados que se forman en el vector, teniendo ese dato, solo aplicamos nuestro teorema de pitágoras, y estaremos obteniendo la magnitud.

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}

Ahora para el caso de la dirección.

Fórmula para encontrar la dirección de un vector

Para hallar la dirección, lo hacemos a partir de la función trigonométrica tangente ya que nuevamente nos relaciona el cateto opuesto y el adyacente, de tal forma que tendremos algo así:

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{b}{a} \right)

Es importante recordar que lo que vamos a obtener será una expresión en radianes, nosotros tendremos que pasarlo a grados. Eso lo haremos mediante el factor de conversión:

\displaystyle \pi =180{}^\circ

Bien, ahora es momento de practicar.

Ejercicios Resueltos de Magnitud y Dirección de un Vector

Ejemplo 1.- Calcule la magnitud y dirección de los siguientes vectores qué están en los incisos, asumiendo que parten del origen. a) = (4, 4); b) = (2, -4); = (-3,-3); = (0, -4);

Solución:

Inciso a) v = (4, 4)

Vamos a graficar nuestro vector y a partir de la gráfica haremos nuestros cálculos correspondientes a la magnitud y dirección:

Aplicando el teorema de pitágoras para poder calcular la magnitud del vector:

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=5.6569

Y pasamos a calcular el ángulo, o sea la dirección:

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{b}{a} \right)={{\tan }^{-1}}\left( \frac{4}{4} \right)={{\tan }^{-1}}(1)=45{}^\circ

En degradianes tenemos 45° grados, si queremos expresarlo en radianes , esto sería:

\displaystyle 45{}^\circ \left( \frac{\pi }{180{}^\circ } \right)=\frac{\pi }{4}

Que sería la solución al problema uno 😀

Inciso b) v = (2, -4)

Nuevamente vamos a graficar el vector y realizar los cálculos

Aplicando el teorema de pitágoras, tenemos que:

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=4.4721

Ahora, calculando el ángulo o la dirección, tenemos:

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{-4}{2} \right)={{\tan }^{-1}}\left( -2 \right)={{\tan }^{-1}}(-2)=-45{}^\circ

Pero ojo, esos -45°no corresponde a la sección del ángulo theta, sino que es la sección restante para llegar a cerrar el ciclo, entonces como éste vector se encuentra en el cuarto cuadrante, vamos a tener que restarle los 360°.

\displaystyle 360{}^\circ -45{}^\circ =315{}^\circ

Convirtiendo a radianes, tenemos:

\displaystyle 315{}^\circ \left( \frac{\pi }{180{}^\circ } \right)=\frac{7}{4}\pi

Bien, ahora veamos el siguiente ejemplo:

Inciso c) v = (-3, -3)

Volvemos a graficar, para darnos cuenta en qué cuadrante se encuentra nuestro vector y al momento de calcular la direccion, no tengamos ningún problema.

Bien, procedemos a calcular la magnitud o módulo de nuestro vector, así que esto nos daría lo siguiente:

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=4.2426

Una vez obtenido el módulo, es momento de calcular el ángulo o sea la dirección.

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{-3}{-3} \right)={{\tan }^{-1}}\left( 1 \right)=45{}^\circ

Pero en esta ocasión nos encontramos con 45° en el tercer cuadrante, lo que haremos será sumar 180° grados.

\displaystyle 180{}^\circ +45{}^\circ =225{}^\circ

Recordemos que éste ángulo es el que está en el tercer cuadrante donde la función tangente es positiva. Por eso es que sumamos.

Convertimos a radianes.

\displaystyle 225{}^\circ \left( \frac{\pi }{180{}^\circ } \right)=\frac{5}{4}\pi

Inciso d) v = (0, -4)

Realizamos, nuestra gráfica correspondiente.

Si observamos, nuestra coordenada en x = 0, por lo que nuestro teorema de pitágoras para realizar el cálculo de el módulo será muy fácil.

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{0}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=\sqrt{0+16}=\sqrt{16}=4

Ahora calculamos la dirección 😀

\displaystyle \theta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{-4}{0} \right)=no\,definido

Ufff, aquí nos topamos con un detalle ¿cierto? pues la división por cero no está definida, entonces debemos hacer uso de nuestro sentido común, basta con observar en que parte está nuestra dirección, y asumimos entonces que el ángulo es de 270°.

\displaystyle 270{}^\circ \left( \frac{\pi }{180{}^\circ } \right)=\frac{3}{2}\pi

Problemas con la dirección del vector

Pudimos observar que hay un problema cuando tenemos la coordenada de la siguiente forma: (0, -b) ; puesto que el arco tangente no está definido para un cero abajo, entonces ocurre lo mismo para el caso de (0, b), solamente debemos usar el sentido común para darnos cuenta del resultado.

 

5 Comments
  1. Lowe
    noviembre 27, 2017 | Responder
    • Fermat
      diciembre 7, 2017 | Responder
  2. Carmen Panta
    enero 28, 2018 | Responder
  3. daniel
    enero 29, 2018 | Responder
    • daniel
      enero 29, 2018 | Responder

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