En la introducción del álgebra lineal es importante aprender a calcular el ángulo entre dos vectores, bien pueden ser vectores en el plano o en el espacio, si son en el espacio tenemos que aprender sobre los cosenos directores, aunque para ambos tendremos que recurrir a un proceso diferente, pero para el cálculo de dos vectores en el plano  solamente debemos tener en cuenta la fórmula  y una que otra regla que nos ayudará a diferenciar si los vectores son paralelos o no. Bien para ello comencemos viendo la siguiente representación gráfica y después en definir la fórmula correspondiente. 😎

Sean entonces u y v dos vectores que son diferentes de cero. Si es el ángulo entre ambos es φ , podemos decir que:

\displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}

En la fórmula podemos apreciar que existen dos procesos para el cálculo del ángulo entre los vectores, en la parte del numerador tenemos el producto punto o producto escalar  que si bien recordamos, es un proceso similar al de las matrices, es decir; todo lo que está en “x” se multiplica por “x” y se le suma la componente de “y” por el producto de la otra “y”, pero claro; esto quedará mejor entendible cuando hagamos los ejemplos resueltos. Entonces, como segunda parte tenemos al denominador, dónde iremos colocando la magnitud de cada vector y después multiplicarlos. Pero repito, será mejor realizar los ejemplos 😀

Ejercicios Resueltos de ángulos entre dos vectores

Ejemplo 1: Sean los siguientes vectores, obtenga el ángulo entre ellos: u = 4i+ 2j ; v = i + 4j

Solución: Realizamos un pequeño bosquejo de los dos vectores, recordemos que; lo que está en i es lo que está en “x” y lo que está en j es lo que hay en “y”.

Aplicando nuestra fórmula tenemos lo siguiente:

\displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(4i+2j)(i+4j)}{\left( \sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}} \right)}

Sino recuerdas como calcular la magnitud entre vectores, puedes dar click aquí y repasar ésta parte.

\displaystyle \cos \varphi =\frac{4+8}{\sqrt{20}\sqrt{17}}=\frac{12}{\sqrt{340}}=0.6508

Aplicamos el arco-coseno o coseno a la menos 1. (el cálculo lo haremos en “degradianes“).

\displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( 0.6508 \right)=49.4{}^\circ

Qué sería el ángulo que hay entre los vectores del ejemplo 1. Esto ha sido muy, pero muy fácil. Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2.– Sean los siguientes vectores, obtenga el ángulo entre ellos: u = 2i + 3j; v = -6i + 2j

Solución: Nuevamente tenemos que realizar un bosquejo, para que entendamos bien la magnitud del ángulo que tendremos, así que veamos:

Aplicando nuevamente nuestra fórmula tenemos:

\displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(2i+3j)(-6i+2j)}{\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)}

Procedemos a realizar las operaciones del numerador y denominador:

\displaystyle \cos \varphi =\frac{-12+6}{\sqrt{13}\sqrt{40}}=\frac{-6}{\sqrt{520}}=-0.2631

Aplicando arco-coseno:

\displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( -0.2631 \right)=105.26{}^\circ

Qué sería el ángulo entre ambos vectores.

Pues bien, hasta ahora todo ha salido bien, sin embargo hay un caso del que debemos darnos cuenta, y se trata de cuando los vectores son totalmente paralelos ¿cómo nos damos cuenta?, pues todo depende del cálculo, observemos el caso 3.

Vectores Paralelos

Puede que existe un caso muy particular, y no nos demos cuenta, pero el resultado será más que obvio. Analicemos el siguiente problema.

Ejemplo 3.- Sean los siguientes vectores, obtenga el ángulo entre ellos: u = 2i – 3j; v = -4i + 6j

Solución: Por lógica al momento de hacer la gráfica de los vectores nos daremos cuenta que son vectores paralelos , por lo que vamos a guiarnos solamente con la fórmula:

\displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(2i-3j)(-4i+6j)}{\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{6}^{2}}} \right)}

Aplicando el proceso del producto escalar en el numerador y la magnitud en el denominador.

\displaystyle \cos \varphi =\frac{-8-18}{\sqrt{13}\sqrt{52}}=\frac{-26}{\sqrt{676}}=-\frac{26}{26}=-1

Aplicando el arco-coseno.

\displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( -1 \right)=180{}^\circ

Por lo que podemos decir que el ángulo entre ambos vectores es de 180°, o sea son totalmente paralelos. Recordemos que estos vectores forman en radianes el valor de π.

[alert-announce] Dos vectores que son diferentes de cero, son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π [/alert-announce]

Vectores Perpendiculares u Ortogonales

Existe también el caso que tengamos dos vectores a 45°, es decir perpendiculares entre si, u ortogonales.

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4: Sean los siguientes vectores u = 3i + 4j y v = -4i + 3j, calcule el ángulo entre los dos vectores.

Solución: Ahora, pasemos a calcular el área entre ambos vectores:

\displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(3i+4j)(-4i+3j)}{\left( \sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{3}^{2}}} \right)}

Aplicando producto punto o escalar y magnitud.

\displaystyle \cos \varphi =\frac{-12+12}{\sqrt{25}\sqrt{25}}=\frac{0}{\sqrt{625}}=\frac{0}{25}=0

Aplicando el arco coseno

\displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( 0 \right)=90{}^\circ

De aquí podemos establecer lo siguiente:

[alert-announce] Dos vectores u y v diferentes de cero, son ortogonales o perpendiculares si el ángulo entre ambos es de 90° o π/2 [/alert-announce]

¿Ha sido claro? Esperamos qué si, cualquier duda, escribrirla en la caja de comentarios 😎