¿Qué tal? Hoy hablaremos sin duda de un tema que nos pidieron hace tiempo y hoy con buen tiempo de anticipación hemos creado el artículo sobre las matrices inversas. No será un artículo extenso porque ya tenemos mucho material antes de éste, que se te hará super sencillo poder entenderlo. Para ello necesitamos saber al menos cuatro cosas.

1.- Calcular Determinantes
2.- Obtener Transpuestas
3.- Calcular Matrices adjuntas

y para comprobar que todo nuestro proceso esté correcto, basta con tener en cuenta:

4.- La multiplicación de Matrices

Si tenemos éstos cuatro puntos bien estudiados a nuestro favor, entonces no habrá complicación alguna para entender como calcular una matriz inversa. Pues solamente vamos a requerir de los pasos anteriores para complementar el proceso con éxito.

Bien recordemos un poco la teoría que nos dice lo siguiente: Si una matriz A es invertible (o sea que tiene inversa) si y solo si la determinante NO es igual a cero. O sea matemáticamente diríamos:

\displaystyle \det A\ne 0

Entonces podemos decir que:

\displaystyle {{A}^{-1}}=\frac{1}{\det A}adjA

Ahora teniendo en cuenta esta parte, ahora si podemos comprender el ejercicio que viene a continuación.

Ejercicios Resueltos de Matriz Inversa de 3×3

Ejemplo 1.- Determine si A es invertible y, de ser así, calcule su inversa

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  2 & 4 & 2 \\  4 & 1 & 1 \\  0 & 6 & -3 \\  \end{matrix} \right)

Solución: El proceso es sumamente fácil, simplemente recordemos llevar a cabo todo el proceso por pasos, para que no sea confuso. Así que lo primero que haremos será calcular la determinante, así sabremos si la matriz es invertible, de ser así entonces calculamos, sino entonces sabríamos que no tiene inversa. Ok 😎

a) Paso 1: Comprobar si tiene determinante.

\displaystyle \det A=2\left| \begin{matrix}  1 & 1 \\  6 & -3 \\  \end{matrix} \right|-4\left| \begin{matrix}  4 & 1 \\  0 & -3 \\  \end{matrix} \right|+2\left| \begin{matrix}  4 & 1 \\  0 & 6 \\  \end{matrix} \right|=78

La determinante nos dio 78, por lo que podemos decir que si tiene inversa.

b) Paso 2: Calcular la Matriz de Cofactores

\displaystyle cof(A)=\left( \begin{matrix}  -9 & 12 & 24 \\  24 & -6 & -12 \\  2 & 6 & -14 \\  \end{matrix} \right)

Ojo, es importante saber obtener la matriz de cofactores, ya tenemos en nuestro blog, un artículo exclusivo sobre matriz de cofactores, donde obtuvimos la matriz adjunta.

Para recordar un poco, por ejemplo el primer renglón de la matriz de cofactores que está dado por [ -9 , 12 , 24 ], se obtiene de la siguiente manera:

Primer Renglón, Primera Columna

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  1 & 1 \\  6 & -3 \\  \end{matrix} \right|=(1)(-3)-(1)(6)=-3-6=-9

Segundo Renglón, Primera Columna

\displaystyle -\left| \begin{matrix}  4 & 1 \\  0 & -3 \\  \end{matrix} \right|=-\left[ (4)(-3)-(1)(0) \right]=-(-12-0)=12

Tercer Renglón, Primera Columna

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  4 & 1 \\  0 & 6 \\  \end{matrix} \right|=+\left[ (4)(6)-(1)(0) \right]=-(24-0)=-24

El resto del procedimiento, tendrás que calcularlo como tarea, y se observará el resultado que obtuvimos de los cofactores.

C) Paso 3: Obtenemos la matriz transpuesta del resultado de cofactores, que es lo conocemos como la matriz adjunta. Recordemos que solamente tenemos que cambiar los renglones por columnas.

\displaystyle {{\left( cof(A) \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}  -9 & 24 & 2 \\  12 & -6 & 6 \\  24 & -12 & -14 \\  \end{matrix} \right)

D) Paso 4: El siguiente paso para encontrar la matriz inversa es el tener que multiplicar el determinante por cada uno de los elementos de la matriz adjunta. Es decir, realizar el siguiente proceso:

\displaystyle \frac{{{\left( cof(A) \right)}^{T}}}{\det A}=\frac{1}{78}\left( \begin{matrix}  -9 & 24 & 2 \\  12 & -6 & 6 \\  24 & -12 & -14 \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  -\frac{9}{78} & \frac{24}{78} & \frac{2}{78} \\  \frac{12}{78} & -\frac{6}{78} & \frac{6}{78} \\  \frac{24}{78} & -\frac{12}{78} & -\frac{14}{78} \\  \end{matrix} \right)

Simplifiquemos la matriz inversa, es decir; si tenemos mitad saquemos mitad, y así sucesivamente . . .

\displaystyle {{A}^{-1}}=\left( \begin{matrix}  -\frac{3}{26} & \frac{4}{13} & \frac{1}{39} \\  \frac{2}{13} & -\frac{1}{13} & \frac{1}{13} \\  \frac{4}{13} & -\frac{2}{13} & -\frac{7}{39} \\  \end{matrix} \right)

Listo, podríamos decir que el ejercicio está completo. Sin embargo, debemos comprobar el proceso y verificar si dicha matriz es correcta.

E) Paso 5: Comprobación de la matriz inversa.

\displaystyle {{A}^{-1}}A=I

Si multiplicamos la matriz inversa, por la matriz original, nos tiene que dar la matriz identidad.

\displaystyle I={{A}^{-1}}A=\left( \begin{matrix}  -\frac{3}{26} & \frac{4}{13} & \frac{1}{39} \\  \frac{2}{13} & -\frac{1}{13} & \frac{1}{13} \\  \frac{4}{13} & -\frac{2}{13} & -\frac{7}{39} \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  2 & 4 & 2 \\  4 & 1 & 1 \\  0 & 6 & -3 \\  \end{matrix} \right)

El resultado es:

\displaystyle I={{A}^{-1}}A=\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\  \end{matrix} \right)

Con esto comprobamos que nuestra matriz es correcta 😀