Multiplicación de Matrices – Ejercicios Resueltos

Qué tal!!  el día de hoy hablaremos sobre el producto de matrices , ya vimos que una matriz puede ser multiplicada por un escalar y también vimos todo sobre el producto escalar ahora es momento de ver la diferencia con el método de la multiplicación de matrices. Para ello es recomendable tener en cuenta muchos puntos de gran importancia, sin estos puntos que mencionaremos a continuación, el proceso de realizar cualquier operación será errónea. Así que poner mucha atención.

La regla más importante en el producto de matrices es que solamente se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda. En caso que no sea así, el producto de las matrices serán incompatibles bajo la multiplicación. Lo veamos de la siguiente manera.

Operación del producto de dos Matrices

Si observamos el vector renglón de la matriz A tiene exactamente el mismo número de componentes que el vector columna de la matriz B, eso es importante y por eso hicimos hincapié en el párrafo anterior.

Ahora empecemos con los ejercicios resueltos de multiplicación de matrices.

Multiplicación de Matrices 2×2

Comencemos con el ejemplo más sencillo, sobre el producto de una matriz de 2×2

Ejemplo 1.- Resuelva el producto entre la Matriz A y Matriz B  

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  2 & 3 \\  4 & -1 \\  \end{matrix} \right)y\,B\left( \begin{matrix}  3 & 3 \\  -5 & 6 \\  \end{matrix} \right)

Solución: Si podemos observar, las matrices son compatibles pues los renglones de la matriz A es igual a tamaño con la columna de la matriz B, entonces podemos proceder a realizar el cálculo.

Paso 1. Tomamos el primer renglón de la matriz A y la multiplicamos por la primer columna de la matriz B. “El proceso de multiplicación es similar al producto escalar“.

\displaystyle {{c}_{11}}=\left( \begin{matrix}  2 & 3 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  3 \\  -5 \\  \end{matrix} \right)=(2)(3)+(3)(-5)=6-15=-9

Con esto obtenemos el primer elemento de nuestra matriz.

Paso 2. Ahora para encontrar la otra componente , tenemos que tomar el primer renglón de la matriz A y multiplicarlo por la segunda columna de la matriz B.

\displaystyle {{c}_{12}}=\left( \begin{matrix}  2 & 3 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  3 \\  6 \\  \end{matrix} \right)=(2)(3)+(3)(6)=6+18=24

Paso 3.- Luego, tenemos que tomar el segundo renglón de la matriz A y multiplicarla por la primer columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{21}}=\left( \begin{matrix}  4 & -1 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  3 \\  -5 \\  \end{matrix} \right)=(4)(3)+(-1)(-5)=12+5=17

Paso 4.- Por último tenemos que tomar el segundo renglón de la matriz A y multiplicarla por la segunda columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{22}}=\left( \begin{matrix}  4 & -1 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  3 \\  6 \\  \end{matrix} \right)=(4)(3)+(-1)(6)=12-6=6

Con esto tendríamos realizadas las 4 operaciones fundamentales para poder tener el resultado de la matriz final, con ello ordenamos los datos quedando así.

Resultado

\displaystyle AB=\left( \begin{matrix}  -9 & 24 \\  17 & 6 \\  \end{matrix} \right)

Multiplicación de una Matriz de 2×3 y una de 3×4

Lo primero que debemos ver a simple vista es analizar si dichas matrices son compatibles. Y lo hacemos con una comprobación muy sencilla. Puesto que los elementos del vector renglón de la matriz A (3) es igual a los elementos del vector columna de la matriz B (3).

Ejemplo 1.- Resuelva el producto entre la Matriz A y Matriz B

\displaystyle A\left( \begin{matrix}  1 & -1 & 3 \\  2 & 0 & 4 \\  \end{matrix} \right)\,y\,B\left( \begin{matrix}  5 & -3 & 0 & 1 \\  2 & 1 & 2 & 5 \\  0 & 3 & 4 & -2 \\  \end{matrix} \right)

Solución: Afortunadamente podemos saber el tamaño de la matriz resultante, pues está dada por la siguiente regla en toda matriz.


Esto nos da a entender, que el resultado de la matriz total tendrá una dimensión de 2×4. Entonces pasemos a resolver el ejercicio. Asumiendo que ya aprendimos como hacerlo.

Paso 1. Tomamos el primer renglón de la matriz A y la multiplicamos por la primer columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{11}}=\left( \begin{matrix}  1 & -1 & 3 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  5 \\  2 \\  0 \\  \end{matrix} \right)=(1)(5)+(-1)(2)+(3)(0)=5-2+0=3

Paso 2. Tomamos el primer renglón de la matriz A y la multiplicamos por la segunda columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{12}}=\left( \begin{matrix}  1 & -1 & 3 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  -3 \\  1 \\  3 \\  \end{matrix} \right)=(1)(-3)+(-1)(1)+(3)(3)=-3-1+9=5

Paso 3. Tomamos el primer renglón de la matriz A y la multiplicamos por la tercera columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{13}}=\left( \begin{matrix}  1 & -1 & 3 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  0 \\  2 \\  4 \\  \end{matrix} \right)=(1)(0)+(-1)(2)+(3)(4)=0-2+12=10

Paso 4. Tomamos el primer renglón de la matriz A y la multiplicamos por la cuarta columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{14}}=\left( \begin{matrix}  1 & -1 & 3 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1 \\  5 \\  -2 \\  \end{matrix} \right)=(1)(1)+(-1)(5)+(3)(2)=1-5+6=2

Paso 5. Tomamos el segundo renglón de la matriz A y la multiplicamos por la primera columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{21}}=\left( \begin{matrix}  2 & 0 & 4 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  5 \\  2 \\  0 \\  \end{matrix} \right)=(2)(5)+(0)(2)+(4)(0)=10+0+0=10

Paso 6. Tomamos el segundo renglón de la matriz A y la multiplicamos por la segunda columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{22}}=\left( \begin{matrix}  2 & 0 & 4 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  -3 \\  1 \\  3 \\  \end{matrix} \right)=(2)(-3)+(0)(1)+(4)(3)=-6+0+12=6

Paso 7. Tomamos el segundo renglón de la matriz A y la multiplicamos por la tercera columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{23}}=\left( \begin{matrix}  2 & 0 & 4 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  0 \\  2 \\  4 \\  \end{matrix} \right)=(2)(0)+(0)(2)+(4)(4)=0+0+16=16

Paso 8. Tomamos el segundo renglón de la matriz A y la multiplicamos por la cuarta columna de la matriz B

\displaystyle {{c}_{24}}=\left( \begin{matrix}  2 & 0 & 4 \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1 \\  5 \\  -2 \\  \end{matrix} \right)=(2)(1)+(0)(5)+(4)(-2)=2+0-8=-6

Resultado:

\displaystyle AB=\left( \begin{matrix}  3 & 5 & 10 & 2 \\  10 & 6 & 16 & -6 \\  \end{matrix} \right)

Ojo! es muy importante mencionar que no es lo mismo multiplicar una matriz A*B que una matriz B*A , nada más en este ejemplo podemos darnos cuenta que el tamaño de la matriz no está determinada para ser calculada.

 

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