Matriz Adjunta – Ejercicios Resueltos

Antes de empezar a resolver matrices inversas que es un tema muy importante, es necesario aprender a resolver matrices adjuntas, para ello pensemos claramente en una matriz A de n x n , o sea una matriz con la misma cantidad de renglones que de columnas.

Bien, pues la teoría nos dice que si tenemos otra matriz, digamos B, entonces la transpuesta de la matriz de cofactores de B, será igual a la matriz adjunta de A. ¿será difícil de entender? , Pues nooo!! 😀

\displaystyle adjA={{B}^{T}}

Hasta ahora tenemos esa expresión matemática, pero para poder entenderla mejor aún, tenemos que recurrir a los ejercicios resueltos.

Ejercicios Resueltos de una Matriz Adjunta de 2×2

La más sencilla de todas, es la matriz adjunta de 2×2, para realizar su adjunta, basta solamente con intercambiar unos lugares de los elementos que componen la matriz, así como también su signo.

Imaginemos primero una matriz A

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\  {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\  \end{matrix} \right)

Entonces su adjunta es:

\displaystyle adjA=\left( \begin{matrix}  {{a}_{22}} & -{{a}_{12}} \\  -{{a}_{21}} & {{a}_{11}} \\  \end{matrix} \right)

Ohh, ahora es más fácil entender ¿cierto?, pues bien. Veamos una matriz adjunta de 2X2 con valores numéricos.

Ejemplo 1.- Encuentre la matriz adjunta de la matriz B de 2×2

\displaystyle B=\left( \begin{matrix}  3 & 4 \\  -6 & 1 \\  \end{matrix} \right)

Solución: Aplicando la fórmula anterior, tenemos entonces lo siguiente:

\displaystyle adjB=\left( \begin{matrix}  1 & -4 \\  6 & 3 \\  \end{matrix} \right)

y listo, ya tenemos una matriz adjunta resuelta. ¿fácil? claro que si, las matrices adjuntas de 2×2 son las más sencillas de resolver.

Ejercicios Resueltos de una Matriz adjunta de 3×3

Para este caso es un proceso más “tedioso” , es decir; es un proceso que lleva más tiempo que la matriz anterior de 2×2, así que para este proceso vas a requerir más concentración porque haremos los cálculos paso a paso, es importante verificar cada determinante de 2×2 que iremos obteniendo. ¡Presta atención!.

Ejemplo 2: Sea A una matriz de 3×3, encuentre su Adjunta. 

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  2 & 4 & 3 \\  0 & -3 & 2 \\  5 & 3 & 1 \\  \end{matrix} \right)

Solución: Bien, para ello debemos recordar el procedimiento de como obtener los cofactores.

Qué tiene la siguiente forma, recordemos que dentro de cada proceso hay una determinante de 2×2.

\displaystyle cof(A)=\left( \begin{matrix}  +\left| \begin{matrix}  {{A}_{22}} & {{A}_{23}} \\  {{A}_{32}} & {{A}_{33}} \\  \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix}  {{A}_{21}} & {{A}_{23}} \\  {{A}_{31}} & {{A}_{33}} \\  \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix}  {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \\  {{A}_{31}} & {{A}_{32}} \\  \end{matrix} \right| \\  {} & {} & {} \\  -\left| \begin{matrix}  {{A}_{12}} & {{A}_{13}} \\  {{A}_{32}} & {{A}_{33}} \\  \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix}  {{A}_{11}} & {{A}_{13}} \\  {{A}_{31}} & {{A}_{33}} \\  \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix}  {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \\  {{A}_{31}} & {{A}_{32}} \\  \end{matrix} \right| \\  {} & {} & {} \\  +\left| \begin{matrix}  {{A}_{12}} & {{A}_{13}} \\  {{A}_{22}} & {{A}_{23}} \\  \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix}  {{A}_{11}} & {{A}_{13}} \\  {{A}_{21}} & {{A}_{23}} \\  \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix}  {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \\  {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \\  \end{matrix} \right| \\  \end{matrix} \right)

Por lo que sabemos que tendremos que calcular un total de 9 determinantes, y cambiando el signo tal como aparece en la fórmula. Haremos todo el procedimiento paso a paso, de ahí en forma de tarea te encargarás de verificar el resultado, de tal manera que no haya problema para entender la solución del problema resuelto.

El primer valor (renglón 1, columna 1) sería:

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  -3 & 2 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right|=(-3)(1)-(2)(3)=-3-6=-9

El segundo valor (renglón 1, columna 2) sería:

\displaystyle -\left| \begin{matrix}  0 & 2 \\  5 & 1 \\  \end{matrix} \right|=-\left[ (0)(1)-(2)(5) \right]=-(0-10)=10

El tercer valor (renglón 1, columna 3) sería:

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  0 & -3 \\  5 & 3 \\  \end{matrix} \right|=+\left[ (0)(3)-(-3)(5) \right]=0+15=15

El cuarto valor (renglón 2, columna1) sería:

\displaystyle -\left| \begin{matrix}  4 & 3 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right|=-\left[ (4)(1)-(3)(3) \right]=-(4-9)=-(-5)=5

El quinto valor (renglón 2, columna 2) sería:

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  2 & 3 \\  5 & 1 \\  \end{matrix} \right|=+\left[ (2)(1)-(3)(5) \right]=(2-15)=-13

El sexto valor (renglón 2, columna 3) sería:

\displaystyle -\left| \begin{matrix}  2 & 4 \\  5 & 3 \\  \end{matrix} \right|=-\left[ (2)(3)-(4)(5) \right]=-(6-20)=-(-14)=14

El séptimo valor (renglón 3, columna 1) sería:

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  4 & 3 \\  -3 & 2 \\  \end{matrix} \right|=+\left[ (4)(2)-(3)(-3) \right]=+(8+9)=(17)=17

El octavo valor (renglón 3, columna 2) sería:

\displaystyle -\left| \begin{matrix}  2 & 3 \\  0 & 2 \\  \end{matrix} \right|=-\left[ (2)(2)-(3)(0) \right]=-(4-0)=-(4)=-4

El noveno y último valor, (renglón 3, columna 3) sería:

\displaystyle +\left| \begin{matrix}  2 & 4 \\  0 & -3 \\  \end{matrix} \right|=+\left[ (2)(-3)-(4)(0) \right]=+(-6-0)=-6

Excelente, ahora es momento de ordenar los resultados que hemos obtenido y por ahora deberías de tener algo así.

\displaystyle cof(A)=\left( \begin{matrix}  -9 & 10 & 15 \\  5 & -13 & 14 \\  17 & -4 & -6 \\  \end{matrix} \right)

Todo lo que hemos obtenido ha sido la matriz de cofactores de 3×3 recordemos que para obtener la matriz adjunta, necesitamos aplicar la transpuesta a ese resultado. Y es obligatorio, para poder confirmar que el procedimiento ha sido un éxito.

\displaystyle adjA={{\left( cof(A) \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}  -9 & 5 & 17 \\  10 & -13 & -4 \\  15 & -14 & -6 \\  \end{matrix} \right)

Con este procedimiento hemos calculado la matriz de cofactores.

Esperamos que haya sido de tu agrado, ayúdanos a compartir el tema y ayudar a otros estudiantes 😀

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