Multiplicación de un escalar por una matriz – Ejercicios Resueltos

Ya que hemos visto como podemos sumar dos matrices, es momento de ver lo que ocurre cuando un “escalar” multiplica a una matriz, ya que es un proceso muy importante en los tópicos del álgebra lineal, para ello vamos a especificar lo que significa un escalar. Como bien dijimos en el artículo anterior. La palabra “escalar“proviene del matemático Hamilton que se había incluido en su obra “On quartenions, or on a New System of Imaginaries in Algebra”, donde mencionaba que el escalar era la parte real algebraica que puede tomar todos los valores que están contenidos desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. 😎

Pero para nosotros como grandes aprendices del álgebra lineal, vamos a trabajarlo con una pequeña fórmula que está compuesta de la siguiente manera:

\displaystyle \alpha A=(\alpha {{a}_{ij}})=\left( \begin{matrix}  \alpha {{a}_{11}} & \alpha {{a}_{12}} & \cdots & \alpha {{a}_{1n}} \\  \alpha {{a}_{11}} & \alpha {{a}_{22}} & \ldots & \alpha {{a}_{2n}} \\  \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\  \alpha {{a}_{m1}} & \alpha {{a}_{m2}} & \ldots & \alpha {{a}_{mn}} \\  \end{matrix} \right)

Lo que esta fórmula nos indica es que nosotros debemos tomar el escalar “alfa” y multiplicar por cada elemento que compone a la matriz. Pero no hay mejor forma de entender este concepto que ver ejercicios resueltos de la multiplicación de una matriz por un escalar.

Ejercicios Resueltos de un Escalar por una Matriz

Ahora es momento de poner en práctica la teoría.

Ejemplo 1.- Resuelva los siguientes incisos de operación matricial.

a) 2A – 3B

b) 0A

c) -1/2A +B

Sabiendo que la Matriz A y la Matriz B son:

\displaystyle A=\left( \begin{matrix}  -2 & 8 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right)

\displaystyle B=\left( \begin{matrix}  1 & 6 \\  5 & -\frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)

Solución :

Para resolver el inciso a), nos piden primero que nada tomar el 2 que es un escalar y multiplicarlo por la matriz A y después realizar la operación con 3 por la matriz B, entonces esto sería.

\displaystyle 2A=2\left( \begin{matrix}  -2 & 8 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2(-2) & 2(8) \\  2(3) & 2(1) \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  -4 & 16 \\  6 & 2 \\  \end{matrix} \right)

Ahora vamos con 3B

\displaystyle 3B=3\left( \begin{matrix}  1 & 6 \\  5 & -\frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  3(1) & 3(6) \\  3(5) & 3(-\frac{1}{2}) \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  3 & 18 \\  15 & -\frac{3}{2} \\  \end{matrix} \right)

Luego, tenemos que restar 2A – 3B , esa operación es más fácil aún porque ya sabemos sumar.

\displaystyle 2A-3B=\left( \begin{matrix}  -4 & 16 \\  6 & 2 \\  \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}  3 & 18 \\  15 & -\frac{3}{2} \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  -4-3 & 16-18 \\  6-15 & 2-\frac{3}{2} \\  \end{matrix} \right)

y finalmente resolvemos.

\displaystyle 2A-3B=\left( \begin{matrix}  -7 & -2 \\  -9 & \frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)

Que vendría a ser nuestra respuesta. Ahora resolvamos el siguiente inciso.

Resolviendo el inciso b)

Al multiplicar la matriz por un escalar con valor de 0, toda la matriz será 0, es decir.

\displaystyle 0A=0\left( \begin{matrix}  -2 & 8 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  0(-2) & 0(8) \\  0(3) & 0(1) \\  \end{matrix} \right)

Resultado

\displaystyle 0A=\left( \begin{matrix}  0 & 0 \\  0 & 0 \\  \end{matrix} \right)

Resolviendo el inciso c)

Bien, ahora tenemos que multiplicar por -1/2 a la matriz A luego realizar la suma con la matriz B

\displaystyle -\frac{1}{2}A=-\frac{1}{2}\left( \begin{matrix}  -2 & 8 \\  3 & 1 \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  -\frac{1}{2}(-2) & -\frac{1}{2}(8) \\  -\frac{1}{2}(3) & -\frac{1}{2}(1) \\  \end{matrix} \right)

Que resolviendo obtenemos

\displaystyle -\frac{1}{2}A=\left( \begin{matrix}  1 & -4 \\  -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)

Ahora sumemos la matriz B

\displaystyle -\frac{1}{2}A+B=\left( \begin{matrix}  1 & -4 \\  -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}  1 & 6 \\  5 & -\frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)

Ahora finalicemos, sumando. 😀

\displaystyle -\frac{1}{2}A+B=\left( \begin{matrix}  1+1 & -4+6 \\  -\frac{3}{2}+5 & -\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2 & 2 \\  \frac{7}{2} & -1 \\  \end{matrix} \right)

y tenemos.

\displaystyle -\frac{1}{2}A+B=\left( \begin{matrix}  2 & 2 \\  \frac{7}{2} & -1 \\  \end{matrix} \right)

Bien, si podemos observar el resolver la multiplicación de un escalar por una matriz es sumamente fácil, simplemente hay que tener en cuenta la regla de suma y multiplicación.

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