Regla de Cramer – Ejercicios Resueltos

Eyyy qué tal?? bien, el día de hoy tenemos un artículo más práctico que teórico, se trata de la regla de Cramer que seguramente ya la hayas escuchado, quizá en la prepa o en la universidad, o alguien te la contó, pues bien, no importa por ahora donde la aprendiste, pero si es interesante que la entiendas porque te servirá demasiado, es como un truco dentro del álgebra lineal y la solución a sistemas de ecuaciones lineales. 😀

Se le llama Regla de Cramer en honor al matemático suizo Gabriel Cramer nacido allá por el siglo XVII, a pesar de su descubrimiento en dicha investigación, hubo otro matemático llamado Maclaurin que también había asegurado haber realizado la misma investigación con más anticipación que Cramer, pero bueno, eso ya seria un poco de historia, y por ahora nos centraremos más en el método.

Este procedimiento matemático la aplicaremos para calcular soluciones de sistemas lineales, no sin antes mencionar la fórmula matemática que nos facilitará el cálculo.

Asumiendo que un sistema de ecuaciones está dado por:

\displaystyle \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}\\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}\end{array}

Entonces, la solución general del sistema:

Para “x” tenemos:

\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix}  {{c}_{1}} & {{b}_{1}} \\  {{c}_{2}} & {{b}_{2}} \\  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix}  {{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\  {{a}_{2}} & {{b}_{2}} \\  \end{matrix} \right|}

Para “y” tenemos:

\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix}  {{a}_{1}} & {{c}_{1}} \\  {{a}_{2}} & {{c}_{2}} \\  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix}  {{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\  {{a}_{2}} & {{b}_{2}} \\  \end{matrix} \right|}

Debemos de recordar unas cosas antes de empezar a resolver sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo; según los resultados podemos concluir que tipo de rectas son:

Concurrentes: Si los determinantes son diferentes de cero.
Coincidentes: Si los determinantes son todos iguales a cero.
Paralelas: Si únicamente el determinante denominador es igual a cero.

Ejercicios Resueltos Regla de Cramer 2×2

Ahora es momento de resolver mediante la regla de Cramer paso a paso un sistema de ecuaciones de 2×2, veamos:

Problema 1.- Resuelva el siguiente sistema mediante la regla de Cramer.

\displaystyle \left\{ \begin{matrix}  4x-y=-9 \\  3x+5y=-1 \\  \end{matrix} \right.

Solución:

Haciendo uso de la fórmula que dijimos anteriormente, tenemos entonces que la determinante general es:

\displaystyle D=\left| \begin{matrix}  4 & -1 \\  3 & 5 \\  \end{matrix} \right|=(4)(5)-(-1)(3)=20+3=23\ne 0

Como el determinante es diferente de cero, entonces decimos que la solución es concurrente.

Ahora calculamos las soluciones.

\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix}  -9 & -1 \\  -1 & 5 \\  \end{matrix} \right|}{23}=\frac{(-9)(5)-(-1)(-1)}{23}=\frac{-45-1}{23}=\frac{-46}{23}=-2

Por lo que la solución en x = -2

Calculemos a “y”

\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix}  4 & -9 \\  3 & -1 \\  \end{matrix} \right|}{23}=\frac{(4)(-1)-(-9)(3)}{23}=\frac{-4+27}{23}=\frac{23}{23}=1

Por lo que la solución en y = 1

Problema 2.- Por la regla de Cramer resuelva el siguiente sistema:

\displaystyle \left\{ \begin{matrix}  2x-y=4 \\  6x-3y=12 \\  \end{matrix} \right.

Solución: Es momento de calcular la determinante general del sistema, para ver que tipo de solución es:

\displaystyle D=\left| \begin{matrix}  2 & -1 \\  6 & -3 \\  \end{matrix} \right|=(2)(-3)-(-1)(6)=-6+6=0

Uff, aquí tenemos una determinante general de cero, por lo que la solución a las rectas son coincidentes, o sea que son rectas que están encimadas.

Ahora si deseamos encontrar la solución para “x” y para “y”, vamos a observar que:

\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix}  4 & -1 \\  8 & -2 \\  \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(4)(-2)-(-1)(8)}{0}=\frac{-8+8}{0}=\frac{0}{0}

Veamos ahora con y

\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix}  2 & 4 \\  4 & 8 \\  \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(2)(8)-(4)(4)}{0}=\frac{16-16}{0}=\frac{0}{0}

Con esto tenemos más que claro, que el sistema corresponde a rectas coincidentes.

Problema 3: Encuentre la solución para el siguiente sistema de ecuaciones, por el método de cramer.

\displaystyle \left\{ \begin{matrix}  2x-y=5 \\  -6x+3y=2 \\  \end{matrix} \right.

Solución: Pasamos a encontrar la determinante general del sistema:

\displaystyle D=\left| \begin{matrix}  2 & -1 \\  -6 & 3 \\  \end{matrix} \right|=(2)(3)-(-1)(-6)=6-6=0

Si obtenemos un determinante de cero en el denominador, podemos decir que corresponde al caso de las rectas paralelas.

\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix}  5 & -1 \\  2 & 3 \\  \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(5)(3)-(-1)(2)}{0}=\frac{15+2}{0}=\frac{17}{0}

Pero la división por cero no está definida. Veamos que ocurre con la otra variable.

\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix}  2 & 5 \\  -6 & 2 \\  \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(2)(2)-(5)(-6)}{0}=\frac{4+30}{0}=\frac{34}{0}

Con esto comprobamos que el sistema no tiene solución, es decir las rectas jamás se tocan, y es lógico, pues ambas rectas son paralelas.

Ejercicios Resueltos de Regla de Cramer de 3×3

Sin duda, el proceso para calcular la solución de un sistema de ecuaciones de 3×3 pro la regla de cramer, es un proceso tedioso, pero no deja de ser interesante 😎

Veamos ahora la regla para poder encontrar primero la determinante general:

Sea un determinante un arreglo rectangular de tres por tres:

\displaystyle \left| \begin{matrix}  {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\  {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\  {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\  \end{matrix} \right|

Para encontrar el determinante de un arreglo de ésta forma, tenemos que repetir los 2 primeros renglones al final, y verificar la solución de la siguiente forma:

\displaystyle D=\left| \begin{matrix}  {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\  {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\  {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \\  {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\  {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\  \end{matrix} \right|=\left( {{a}_{1}}{{b}_{2}}{{c}_{3}}+{{a}_{2}}{{b}_{3}}{{c}_{1}}+{{a}_{3}}{{b}_{1}}{{c}_{2}} \right)-\left( {{a}_{2}}{{b}_{1}}{{c}_{3}}+{{a}_{1}}{{b}_{3}}{{c}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{2}}{{c}_{1}} \right)

Según la Wikipedia, teniendo el sistema:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  ax+by+cz=j \\  dx+ey+fz=k \\  gx+hy+iz=l \\  \end{array} \right.

Para la solución en “x” Tenemos que:

\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix}  j & b & c \\  k & e & f \\  l & h & i \\  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix}  a & b & c \\  d & e & f \\  g & h & i \\  \end{matrix} \right|}

Para la solución en “y” tenemos que:

\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix}  a & j & c \\  d & k & f \\  g & l & i \\  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix}  a & b & c \\  d & e & f \\  g & h & i \\  \end{matrix} \right|}

Para la solución en “z” tenemos que:

\displaystyle z=\frac{\left| \begin{matrix}  a & b & j \\  d & e & k \\  g & h & l \\  \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix}  a & b & c \\  d & e & f \\  g & h & i \\  \end{matrix} \right|}

Veamos entonces un problema:

Ejemplo 4.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de 3×3 mediante la regla de Cramer

\displaystyle \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  3x+2y-z=12 \\  x-y+4z=19 \\  5x-3y+z=8 \\  \end{array} \right.

Solución:

Para encontrar el determinante general, lo hacemos de la siguiente manera, es importante tener conocimiento de las determinantes 

\displaystyle D=\left| \begin{matrix}  3 & 2 & -1 \\  1 & -1 & 4 \\  5 & -3 & 1 \\  \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix}  -1 & 4 \\  -3 & 1 \\  \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix}  1 & 4 \\  5 & 1 \\  \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix}  1 & -1 \\  5 & -3 \\  \end{matrix} \right|

Por lo que:

\displaystyle 3\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(-3)-(-1)(5) \right]

Así que

\displaystyle 3(-1+12)-2(1-20)-1(-3+5)=3(11)-2(-19)-1(2)=69

Nuestro determinante equivale a 69.

La solución para “x”.

\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix}  12 & 2 & -1 \\  19 & -1 & 4 \\  8 & -3 & 1 \\  \end{matrix} \right|=12\left| \begin{matrix}  -1 & 4 \\  -3 & 1 \\  \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix}  19 & 4 \\  8 & 1 \\  \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix}  19 & -1 \\  8 & -3 \\  \end{matrix} \right|}{D}

Luego tenemos que:

\displaystyle x=\frac{12\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-1\left[ (19)(-3)-(-1)(8) \right]}{D}

Así que:

\displaystyle x=\frac{12(-1+12)-2(19-32)-1(-57+8)}{D}

Luego:

\displaystyle x=\frac{12(11)-2(-13)-1(-49)}{69}

Finalmente:

\displaystyle x=\frac{207}{69}=3

x = 3

Ahora veamos:

La solución para “y”.

\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix}  3 & 12 & -1 \\  1 & 19 & 4 \\  5 & 8 & 1 \\  \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix}  19 & 4 \\  8 & 1 \\  \end{matrix} \right|-12\left| \begin{matrix}  1 & 4 \\  5 & 1 \\  \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix}  1 & 19 \\  5 & 8 \\  \end{matrix} \right|}{D}

Con esto obtenemos el proceso para encontrar a “y”:

\displaystyle y=\frac{3\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-12\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(8)-(19)(5) \right]}{D}

Así que:

\displaystyle y=\frac{3(19-32)-12(1-20)-1(8-95)}{D}

\displaystyle y=\frac{3(-13)-12(-19)-1(-87)}{69}

Finalmente obtenemos que:

\displaystyle y=\frac{276}{69}=4

y = 4

Ahora veamos la solución que tenemos para “z”

La solución para “z”

\displaystyle z=\frac{\left| \begin{matrix}  3 & 2 & 12 \\  1 & -1 & 19 \\  5 & -3 & 8 \\  \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix}  -1 & 19 \\  -3 & 8 \\  \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix}  1 & 19 \\  5 & 8 \\  \end{matrix} \right|+12\left| \begin{matrix}  1 & -1 \\  5 & -3 \\  \end{matrix} \right|}{D}

Desarrollando las determinantes:

\displaystyle z=\frac{3\left[ (-1)(8)-(19)(-3) \right]-2\left[ (1)(8)-(19)(5) \right]+12\left[ (1)(-3)-(-1)(5) \right]}{D}

Así que:

\displaystyle z=\frac{3(-8+57)-2(8-95)+12(-3+5)}{D}

\displaystyle z=\frac{3(49)-2(-87)+12(2)}{69}

Por lo que:

\displaystyle z=\frac{345}{69}=5

z = 5

Y con esto podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3×3, en este ejemplo x =3, y = 4, z =5.

¿Te gusto la información de este artículo? No dudes en compartir 😎

8 Comments
  1. Santiago
    enero 3, 2018 | Responder
    • Fermat
      enero 5, 2018 | Responder
  2. Ing. Cesar Seclen
    enero 4, 2018 | Responder
    • Fermat
      enero 5, 2018 | Responder
  3. enero 7, 2018 | Responder
  4. Armando Illescas
    marzo 6, 2018 | Responder
    • Armando Illescas
      marzo 6, 2018 | Responder
  5. Christian
    marzo 7, 2018 | Responder

Add a Comment

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *