Producto Escalar - Ejercicios Resueltos

Carlos Julián

Seguimos elaborando artículos sobre el álgebra lineal, en este caso nos toca hablar sobre el producto escalar o también llamado producto punto,e incluso producto interno. A pesar de que esta operación matemática tiene varios nombres, y que conforman de alguna forma en el desarrollo de la mecánica, la electricidad y el magnetismo. Vamos a estudiarla y de ahí veremos ejemplos resueltos de producto escalar que será muy práctica, para que lo entiendas de una vez por todas !!! 😀

Antes de comenzar, tengamos en cuenta lo siguiente:

Un vector renglón es aquél que todas sus componentes las tiene de forma horizontal, y un vector columna es aquél en la que sus componentes las tiene de forma vertical, ahora si comprendemos este punto, el algoritmo para la resolución de problemas será aún más fácil. Veamos entonces la definición.

Sean:

$\displaystyle a=\left( \begin{matrix} {{a}_{1}} \\ {{a}_{2}} \\ \vdots \\ {{a}_{n}} \\ \end{matrix} \right)$

$\displaystyle b=\left( \begin{matrix} {{b}_{1}} \\ {{b}_{2}} \\ \vdots \\ {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right)$

Dos vectores. Entonces podríamos decir que el producto escalar de a y b que matemáticamente lo vamos a simbolizar así $\displaystyle a\cdot b$ , está dada por:

$\displaystyle a\cdot b={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}}$

Analicemos que el producto punto entre los dos vectores de n dimensión dan como resultado un escalar. Por lo general la operación entre ambos vectores se lleva por un vector renglón y un vector columna de esta manera:

$\displaystyle ({{a}_{1}},{{a}_{2}}...,{{a}_{n}})\left( \begin{matrix} {{b}_{1}} \\ {{b}_{2}} \\ \vdots \\ {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right)={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}}$

Es muy importante que el producto interno de a y b tengan el mismo número de componentes.

🔸 Propiedades del producto escalar

Veamos entonces las propiedades del producto escalar, esto será de gran relevancia para no cometer errores y respetar las reglas definidas para este proceso. También podemos considerarlos como teoremas.

Sean a, b y c tres vectores de dimensión n y sea α (alfa) un escalar. Entonces podemos decir que:

$\displaystyle 1)\,a\cdot 0=0$

$\displaystyle 2)\,a\cdot b=b\cdot a$

$\displaystyle 3)\,a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$\displaystyle 4)\,\left( \alpha a \right)\cdot b=\alpha \left( a\cdot b \right)$

En la número 2, podemos observar la ley conmutativa del producto escalar, y en la número 3, podemos observar la ley distributiva del producto escalar.

📃 Ejemplos resueltos de Producto Escalar

Pero no hay nada mejor que aprender con los ejercicios 😎

Ejemplo 1.- Considere los vectores a y b y realice el producto punto.

$\displaystyle a=\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)y\,b=\left( \begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

$\displaystyle a\cdot b=\left( 4 \right)\left( 5 \right)+\left( 1 \right)\left( -2 \right)+\left( -3 \right)\left( 3 \right)=20-2-9=9$

Excelente, de aquí vemos que el resultado es un escalar como en toda operación que hagamos del producto interno.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2.- Considere los siguientes vectores c y d y realice el producto interno.

$\displaystyle c=(2,-3,-1,7)y\,d=\left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Esto mantiene lo que dijimos texto atrás, un vector renglón por un vector columna. Ahora la solución es:

$\displaystyle c\cdot d=\left( 2 \right)\left( 3 \right)+\left( -3 \right)\left( 0 \right)+\left( -1 \right)\left( -2 \right)+(7)(4)=6+2+28=36$

Por lo que el resultado es 36.

⭕ El producto punto en el Cálculo Vectorial

En el cálculo vectorial tenemos el mismo concepto para el producto punto, solo que como los vectores poseen sus componentes de acuerdo al eje al que pertenezcan, entonces el producto punto entre dos vectores viene dado de la siguiente forma:

$\displaystyle a=10i+2j-3k\,y\,b=2i-3j+k$

Entonces resolvemos de la misma manera.

$\displaystyle a\cdot b=(10)(2)+(2)(-3)+(-3)(1)=20-6-3=11$

y el resultado, nuevamente es un escalar.

Hay una forma muy peculiar en el cálculo vectorial que lo veremos en un post por separado, ya que hay una forma de expresar en forma geométrica al producto punto.

Bien, espero que este artículo haya sido de tu agrado y resuelva tus dudas. Si tienes más complicaciones escríbase en la caja de comentarios 😎

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