Transpuesta de una matriz - Ejercicios Resueltos

Carlos Julián

Transpuesta de una Matriz

Un tema de gran importancia dentro del álgebra lineal es sin duda la transpuesta de una matriz, la transpuesta de una matriz A, por ejemplo, consiste en intercambiar los renglones por las columnas de la matriz. que matemáticamente lo simbolizamos así:

$\displaystyle {{A}^{T}}$

De otra forma la podemos expresar como sigue:

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \ldots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & \ldots & {{a}_{mn}} \\ \end{matrix} \right)$

Entonces la transpuesta sería:

$\displaystyle {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{21}} & \cdots & {{a}_{m1}} \\ {{a}_{12}} & {{a}_{22}} & \ldots & {{a}_{m2}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{1n}} & {{a}_{2n}} & \ldots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right)$

Este proceso sin duda es muy fácil, solo tenemos que intercambiar renglones por columnas, pero siempre es mejor tener ejemplos resueltos, así que ahora veamos algunos ejemplos que seguramente aclararán este tema sin problema alguno.

📃 Ejemplos Resueltos de la Transpuesta de una Matriz

Ejemplo 1.- Dada las siguiente matriz de 2x2 , encontrar su transpuesta.

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ -6 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Recordemos solamente en mover los renglones en columnas, así de fácil.

$\displaystyle {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix} 3 & -6 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

Ejemplo 2.- Dada la siguiente matriz de 2x3 , encontrar su transpuesta.

$\displaystyle B=\left( \begin{matrix} 1 & 4 & 6 \\ -5 & 4 & -9 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Seguimos haciendo lo mismo del paso anterior, solamente tenemos que intercambiar los renglones en las columnas de la transpuesta.

$\displaystyle {{B}^{T}}=\left( \begin{matrix} 1 & -5 \\ 4 & 4 \\ 6 & -9 \\ \end{matrix} \right)$

A diferencia de la matriz del ejemplo 1, en este caso pudimos ver como el tamaño de elementos que tenía la matriz B, paso a ser el tamaño de las columnas. ¿Interesante?, claro que si... Veamos ahora otro ejemplo.

Ejemplo 3.- Dada la siguiente matriz de 4x3, encontrar su transpuesta.

$\displaystyle C=\left( \begin{matrix} 4 & -3 & 1 \\ -7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Nada más al observar el tamaño de la matriz original de 4x3 , sabemos que la matriz transpuesta será de 3x4, porque cambiaremos los renglones en columnas. Así que veamos como queda:

$\displaystyle {{C}^{T}}=\left( \begin{matrix} 4 & -7 & 0 & 2 \\ -3 & 8 & 1 & -3 \\ 1 & 9 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Listo, problema resuelto.

💡 Teoremas Importantes de una Matriz Transpuesta

Asumiendo que A es una matriz de nxm y B es una matriz de mxp. Entonces podemos decir que:

1️⃣ Teorema 1.- $\displaystyle {{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A$

O sea que si aplicamos la transpuesta a una Matriz A, y después le volvemos aplicar la transpuesta, lógicamente volveríamos a tener la matriz original.

2️⃣ Teorema 2.- $\displaystyle {{\left( AB \right)}^{T}}={{B}^{T}}{{A}^{T}}$

Si tenemos la multiplicación de matrices de A con B, y a ese resultado le sacamos la transpuesta, será igual a sacarle la transpuesta a la matriz B y multiplicarla por la transpuesta de la matriz B.

3️⃣ Teorema 3.- Si A y B son de nxm , entonces $\displaystyle {{\left( A+B \right)}^{T}}={{A}^{T}}+{{B}^{T}}$

Con esto podemos decir que solo es aplicable a dos matrices del mismo tamaño en renglones y columnas, para que se cumpla la igualdad.

4️⃣ Teorema 4.- Si A es invertible (o sea si tiene matriz inversa), entonces $\displaystyle {{A}^{T}}$ es invertible y $\displaystyle {{\left( {{A}^{T}} \right)}^{-1}}={{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{T}}$

🔸 La Matriz Simétrica

Existe un caso muy particular e importante en las matrices transpuestas, y es que también hay matrices que son simétricas en el sentido de que si nosotros sacamos la transpuesta de una matriz cualquiera, ésta misma nos arroje la matriz original.

La matriz cuadrada de nxn (mismas columnas, mismos renglones en tamaño), se les denomina simétrica si $\displaystyle {{A}^{T}}=A$ .

Veamos algunos ejemplos.

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right)$

Si obtenemos la transpuesta de esa matriz, nos daría.

$\displaystyle {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix} \right)$

Lo que decimos que dicha matriz es una matriz simétrica.

Veamos otro ejemplo.

$\displaystyle D=\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 9 \\ -5 & 4 & 3 \\ 9 & 3 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

$\displaystyle {{D}^{T}}=\left( \begin{matrix} 1 & -5 & 9 \\ -5 & 4 & 3 \\ 9 & 3 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

De esta manera comprobamos que la teoría es verídica mediante los ejemplos. Si te ha gustado el post, no dudes en compartir.

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