Existen muchas formas para poder resolver límites que se indeterminan, y todo dependiendo el caso; puede ser desde límites algebraicos con indeterminación de 0/0 pero también pueden ser límites trigonométricos, exponenciales y logarítmicos que cumplen con una indeterminación de otro tipo, eso lo podemos ver más adelante, sin embargo por ahora nos importa poder resolver límites indeterminados trigonométricos.

⭕ Límites Notables

Para poder solucionar límites trigonométricos que se indeterminan, es importante conocer los límites notables que nos ayudarán a poder resolver mucho mejor nuestros problemas.

Límites Notables

Al momento de resolver límites puede que parezca demasiado complicado poder resolver estos tipos de problemas, pero no es así, y ahora vamos enseñar que se hace cuando se tiene un límite trigonométrico indeterminado.

🔸 Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos Indeterminados

Comencemos con los siguientes ejemplos 😊👇 :

 Problema 1.- Resuelva el siguiente límite indeterminado.

Límite Trigonométrico Indeterminado Problema 1

Solución:

Si evaluamos el límite, vamos a obtener lo siguiente:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{x}=\frac{sen[5(0)]}{0}=\frac{sen(0)}{0}=\frac{0}{0}

Vemos que existe una indeterminación del tipo 0/0

🔹 ¿Cómo resolverlo?

Vamos a emplear el límite notable 1, ya que nuestro límite es muy similar al de este ejercicio. Pero para que éste se parezca al límite notable, necesitaríamos multiplicar a 5 tanto el numerador como el denominador, de esta forma:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{5}\cdot \frac{sen(5x)}{x}=5\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{5x}

Ahora sabemos que en nuestro límite notable, será equivalente a 1:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{x}=5(1)=5

Por lo que el límite es 5

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{x}=5

 Problema 2.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico.

Límite indeterminado

Solución:

Si evaluamos el límite, nos vamos a encontrar con lo siguiente:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x-2}{senx}=\frac{2\cos (0)-2}{sen(0)}=\frac{2(1)-2}{0}=\frac{2-2}{0}=\frac{0}{0}

Vemos que existe una indeterminación del tipo 0/0

🔹 ¿Cómo resolverlo?

Lo primero que haremos será factorizar a 2, de nuestro numerador, quedando así nuestro límite:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x-2}{senx}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( \cos x-1 \right)}{senx}

Podemos dividir tanto el numerador como denominador por 1/x y así obtener lo siguiente:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x-2}{senx}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2\left( \cos x-1 \right)}{x}}{\frac{senx}{x}}

Luego movemos al 2 detrás del límite:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x-2}{senx}=2\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\left( \cos x-1 \right)}{x}}{\frac{senx}{x}}

Recordar que los límites se aplican tanto al numerador como al denominador por individual, esto es por regla de límites:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x-2}{senx}=2\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \cos x-1 \right)}{x}}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senx}{x}}=2\frac{(0)}{1}=\frac{0}{1}=0

Se aplican los límites notables y llegamos al resultado

Resultado:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos x-2}{senx}=0

 Problema 3.- Haga la evaluación del siguiente límite trigonométrico.

Límite indeterminado 3

Solución:

Antes de evaluar nuestro límite, es importante mencionar que:

\displaystyle \frac{\pi }{4}=\frac{180{}^\circ }{4}=45{}^\circ

Ahora si evaluamos el límite:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 2x}{senx-\cos x}=\frac{\cos [2(45{}^\circ )]}{sen(45{}^\circ )-\cos (45{}^\circ )}=\frac{\cos (90{}^\circ )}{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{0}{0}

Por lo que obtenemos nuevamente una indeterminación de 0/0

🔹 ¿Cómo resolverlo?

Vamos a utilizar en el numerador, la siguiente identidad trigonométrica:

\displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-se{{n}^{2}}x

quedando nuestro límite así:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 2x}{senx-\cos x}=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\cos }^{2}}x-se{{n}^{2}}x}{senx-\cos x}

Como el numerador es una diferencia de cuadrados, podemos factorizar de esta manera:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\cos }^{2}}x-se{{n}^{2}}x}{senx-\cos x}=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\cos x-senx)(\cos x+senx)}{senx-\cos x}

Factorizando el signo negativo en el numerador, obtenemos:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\cos }^{2}}x-se{{n}^{2}}x}{senx-\cos x}=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ (-1)(-\cos x+senx) \right](\cos x+senx)}{senx-\cos x}

Que lo podemos colocar de esta forma:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ (-1)(-\cos x+senx) \right](\cos x+senx)}{senx-\cos x}=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(-1)(senx-\cos x)(\cos x+senx)}{senx-\cos x}

Simplificando el numerador y denominador

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,(-1)(\cos x+senx)

Evaluando nuevamente el límite:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,(-1)(\cos x+senx)=(-1)(cos45{}^\circ +sen45{}^\circ )=(-1)(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=(-1)(2\frac{\sqrt{2}}{2})=-\sqrt{2}

Por lo que obtenemos el resultado:

Resultado:

\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 2x}{senx-\cos x}=-\sqrt{2}

 Problema 4.- Haga la evaluación del siguiente límite trigonométrico.

Límite trigonométrico indeterminado

Solución:

Vamos a evaluar el límite y ver que ocurre:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{sen(9x)}=\frac{sen[5(0)]}{sen[9(0)]}=\frac{sen(0)}{sen(0)}=\frac{0}{0}

Nuevamente observamos una indeterminación del tipo 0/0

🔹 ¿Cómo resolverlo?

Para su solución es lógico que usaremos el límite notable siguiente:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senx}{x}=1

Entonces, para poder llegar a ese valor, basta con dividir tanto el numerador como el denominador por “x”, y así obtener:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{sen(9x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{sen(5x)}{x}}{\frac{sen(9x)}{x}}

Realizando la división de fracciones, obtenemos:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{sen(9x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\cdot sen(5x)}{x\cdot sen(9x)}

Pero podemos colocarlo de esta forma:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{sen(9x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{sen(5x)}{x}\cdot \frac{x}{sen(9x)} \right)

Ahora como necesitamos un 5 en el denominador y un 9 en el denominador, podemos multiplicar por 5/9 y dividir por 5/9 para no alterar el límite:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{sen(9x)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{sen(5x)}{5x}\cdot \frac{9x}{sen(9x)}\left( \frac{5}{9} \right) \right)

Por lo que al evaluar nuevamente, obtenemos:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{sen(5x)}{5x}\cdot \frac{9x}{sen(9x)}\left( \frac{5}{9} \right) \right)=\frac{5}{9}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{5x}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x}{sen(9x)}=\frac{5}{9}(1)(1)=\frac{5}{9}

Recordar que hacemos uso de los ángulos notables:

Resultado:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen(5x)}{sen(9x)}=\frac{5}{9}

 Problema 5.- Haga la evaluación del siguiente límite trigonométrico.

Límite trigonométrico

Solución:

Si conocemos las reglas importantes para la solución de límites, la solución será mucho más fácil.

♦ Si evaluamos el límite, observaremos que dicho límite se indetermina:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\frac{4(0)}{sen[3(0)]}=\frac{0}{sen(0)}=\frac{0}{0}

♦ Para evitar la indeterminación, primero multiplicamos por 3 tanto al numerador, como al denominador:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\cdot 4x}{3\cdot sen3x}

♦ Vamos a retirar al 4 del numerador y a 3 del denominador detrás del límite (porque son constantes).

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\frac{4}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x}{sen3x}

♦ Dividimos al numerador y denominador por 3x

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\frac{4}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3x}{3x}}{\frac{sen3x}{3x}}=\frac{4}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{sen3x}{3x}}

♦ Aplicamos la propiedad de límites para una división:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\frac{4}{3}\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,1}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen3x}{3x}}

♦ El límite en el denominador, es un límite notable. Entonces el resultado es:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\frac{4}{3}\frac{(1)}{(1)}=\frac{4}{3}

Resultado:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{sen3x}=\frac{4}{3}

⚡ Ejercicios para Practicar de Límites Indeterminados Trigonométricos

Ahora es momento de practicar y de corroborar tus resultados paso a paso:

 Problema 6.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico 

Ejercicio de límites trigonométricos

👉 Ver Solución

 Problema 7.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico 

Problema de límites trigonométricos

👉 Ver Solución

 Problema 8.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico 

Límite trigonométrico 5

👉 Ver Solución

 Problema 9.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico 

problema de límites trigonométricos

👉 Ver Solución