Si el límite de una función racional produce una indeterminación del tipo 0/0 , entonces podemos recurrir a otros métodos para poder facilitar la solución de otras maneras, tal es el caso del uso de la factorización. Para ello podemos resumir en tres puntos el proceso para encontrar un nuevo resultado, no sin antes mencionar que este proceso se cumple para límites algebraicos indeterminados de la forma 0/0

  • Factorizar el numerador y el denominador
  • dividir los factores comunes
  • Luego reevaluar el límite

🔸 Ejemplos de Límites Indeterminados 0/0

Comencemos con los siguientes ejemplos 😊👇

Problema 1.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{2}}+8x+15}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Confirmamos que el límite tiene una indeterminación:

\displaystyle \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{2}}+8x+15}=\frac{{{(-3)}^{2}}+(-3)-6}{{{(-3)}^{2}}+8(-3)+15}=\frac{9-9}{9-24+15}=\frac{0}{0}

2️⃣ Paso 2: Ya que la función es racional, podemos intentar factorizar tanto el numerador como el denominador para identificar factores comunes.

\displaystyle \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{2}}+8x+15}=\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x+5)}=\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+5}

3️⃣ Paso 3: Evaluando lo que nos quedó del límite:

\displaystyle \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+5}=\frac{-3-2}{-3+5}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{2}}+8x+15}=-\frac{5}{2}

Problema 2.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-7x-4}{{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+16x}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Confirmamos que el límite tiene una indeterminación:

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-7x-4}{{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+16x}=\frac{2{{(4)}^{2}}-7(4)-4}{{{(4)}^{3}}-8{{(4)}^{2}}+16(4)}=\frac{0}{0}

Como 0/0 es una forma indeterminada, el límite puede (o no) existir. Pero veamos el siguiente paso:

2️⃣ Paso 2: Dado que la función es racional, intente factorizar para encontrar cualquier factor común.

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-7x-4}{{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+16x}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-4)(2x+1)}{x(x-4)(x-4)}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x(x-4)}

3️⃣ Paso 3: Evaluando lo que nos queda del límite:

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x(x-4)}=\frac{2(4)+1}{4(4-4)}=\frac{8+1}{4(0)}=\frac{9}{0}

Observamos que el límite no existe.

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-7x-4}{{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+16x}=no\,existe

Problema 3.- Evalúe el siguiente límite 

Solución:

\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+5x-14}{{{x}^{2}}-4}

1️⃣ Paso 1: Confirmamos que el límite tiene una indeterminación:

\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+5x-14}{{{x}^{2}}-4}=\frac{{{(2)}^{2}}+5(2)-14}{{{(2)}^{2}}-4}=\frac{4+10-14}{4-4}=\frac{0}{0}

2️⃣ Paso 2: Factorizando tanto al numerador, como al denominador:

\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+5x-14}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+7)(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+7}{x+2}

3️⃣ Paso 3: Evaluando lo que nos queda del límite:

\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+7}{x+2}=\frac{2+7}{2+2}=\frac{9}{4}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+5x-14}{{{x}^{2}}-4}=\frac{9}{4}

Problema 4.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{x}^{2}}+10x+9}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Confirmamos que el límite tiene una indeterminación:

\displaystyle \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{x}^{2}}+10x+9}=\frac{{{(-1)}^{2}}-4(-1)-5}{{{(-1)}^{2}}+10(-1)+9}=\frac{0}{0}

2️⃣ Paso 2: Factorizando tanto al numerador, como al denominador:

\displaystyle \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{x}^{2}}+10x+9}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-5)(x+1)}{(x+9)(x+1)}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-5}{x+9}

3️⃣ Paso 3: Evaluando lo que nos queda del límite:

\displaystyle \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-5}{x+9}=\frac{-1-5}{-1+9}=\frac{-6}{8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4x-5}{{{x}^{2}}+10x+9}=-\frac{3}{4}

Problema 5.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-7x+2}{3{{x}^{2}}+5x-2}

Solución:

1️⃣ Paso 1: Confirmamos que el límite tiene una indeterminación:

\displaystyle \underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-7x+2}{3{{x}^{2}}+5x-2}=\frac{3{{(\frac{1}{3})}^{2}}-7(\frac{1}{3})+2}{3(\frac{1}{3})+5(\frac{1}{3})-2}=\frac{0}{0}

2️⃣ Paso 2: Factorizando tanto al numerador, como al denominador:

\displaystyle \underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-7x+2}{3{{x}^{2}}+5x-2}=\underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(3x-1)(x-2)}{(3x-1)(x+2)}=\underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+2}

3️⃣ Paso 3: Evaluando lo que nos queda del límite:

\displaystyle \underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x+2}=\frac{\frac{1}{3}-2}{\frac{1}{3}+2}=\frac{-\frac{5}{3}}{\frac{7}{3}}=-\frac{5}{7}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to \frac{1}{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-7x+2}{3{{x}^{2}}+5x-2}=-\frac{5}{7}