Los límites exponenciales indeterminados del tipo 0/0 son muy comunes dentro del estudio del cálculo diferencial estos límites que también pueden llegarse a indeterminar pero que se pueden resolver aplicando ciertos patrones o reglas básicas para lograr un resultado no indeterminado.

  • La forma básica a utilizar es la siguiente:

\displaystyle \underset{u\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{u}}-1}{u}=1

Nota: Tenga en cuenta que el denominador debe coincidir con el exponente y que ambos deben tender a cero en el límite.

🔸 Ejemplos Resueltos de límites exponenciales indeterminados

Para comprender mucho mejor el tema, veamos la solución del primer límite:

 Problema 1.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{4x}}-1}{x}

Es lógico que al evaluar el límite, veamos la indeterminación:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{4x}}-1}{x}=\frac{{{e}^{4(0)}}-1}{0}=\frac{{{e}^{0}}-1}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}

De aquí en adelante, comienza el proceso para buscar la no indeterminación del límite, entonces comenzamos realizando los siguientes pasos.

1️⃣  Primer Paso:

Multiplicando al numerador como al denominador por 4.

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{4x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4}{4}\cdot \frac{{{e}^{4x}}-1}{x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4}{1}\cdot \frac{{{e}^{4x}}-1}{4x} \right)=4\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{4x}}-1}{4x}

2️⃣ Segundo Paso:

Evaluando el siguiente límite:

\displaystyle 4\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{4x}}-1}{4x}=4(1)=4

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{4x}}-1}{x}=4

 Problema 2.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{10x}}-1}

1️⃣  Primer Paso:

Multiplicando al numerador como al denominador por 10.

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{10x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{10}{10}\cdot \frac{x}{{{e}^{10x}}-1} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{10}\cdot \frac{10x}{{{e}^{10x}}-1} \right)=\frac{1}{10}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{10x}{{{e}^{10x}}-1}

2️⃣ Segundo Paso:

Reescriba la función como su recíproco elevado a la potencia de -1.

\displaystyle \frac{1}{10}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{10x}{{{e}^{10x}}-1}=\frac{1}{10}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{e}^{10x}}-1}{10x} \right)}^{-1}}

3️⃣ Tercer Paso:

Pase el límite dentro del exponente y evalúe (consulte la página sobre propiedades de límites).

\displaystyle \frac{1}{10}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{e}^{10x}}-1}{10x} \right)}^{-1}}=\frac{1}{10}{{\left( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{10x}}-1}{10x} \right)}^{-1}}=\frac{1}{10}{{(1)}^{-1}}=\frac{1}{10}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{10x}}-1}=\frac{1}{10}

 Problema 3.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{2x}}-1}{{{e}^{7x}}-1}

1️⃣  Primer Paso:

Reescriba la función en fracciones separadas:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{2x}}-1}{{{e}^{7x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{2x}}-1}{1}\cdot \frac{1}{{{e}^{7x}}-1} \right)

2️⃣ Segundo Paso:

Multiplique por 2x/2x , así como 7x/7x

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{2x}}-1}{1}\cdot \frac{1}{{{e}^{7x}}-1} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2x}{2x}\cdot \frac{{{e}^{2x}}-1}{1}\cdot \frac{7x}{7x}\cdot \frac{1}{{{e}^{7x}}-1} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2x}{1}\cdot \frac{{{e}^{2x}}-1}{2x}\cdot \frac{1}{7x}\cdot \frac{7x}{{{e}^{7x}}-1} \right)

3️⃣ Tercer Paso:

Simplificar las fracciones no exponenciales

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2x}{1}\cdot \frac{{{e}^{2x}}-1}{2x}\cdot \frac{1}{7x}\cdot \frac{7x}{{{e}^{7x}}-1} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2x}{7x}\cdot \frac{{{e}^{2x}}-1}{2x}\cdot \frac{7x}{{{e}^{7x}}-1} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2}{7}\cdot \frac{{{e}^{2x}}-1}{2x}\cdot \frac{7x}{{{e}^{7x}}-1} \right)

Sacando a 2/7 como constante:

\displaystyle \frac{2}{7}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{2x}}-1}{2x}\cdot \frac{7x}{{{e}^{7x}}-1} \right)

4️⃣ Cuarto Paso:

Evaluar el límite de cada factor:

\displaystyle \frac{2}{7}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{2x}}-1}{2x}\cdot \frac{7x}{{{e}^{7x}}-1} \right)=\frac{2}{7}(1)(1)=\frac{2}{7}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{2x}}-1}{{{e}^{7x}}-1}=\frac{2}{7}

 Problema 4.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{8x}}-1}{sen6x}

1️⃣  Primer Paso: 

Reescriba la función en fracciones separadas:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{8x}}-1}{sen6x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{8x}}-1}{1}\cdot \frac{1}{sen6x} \right)

2️⃣ Segundo Paso:

Multiplique por 8x/8x , así como 6x/6x

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{8x}}-1}{1}\cdot \frac{1}{sen6x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{8x}{8x}\cdot \frac{{{e}^{8x}}-1}{1}\cdot \frac{6x}{6x}\cdot \frac{1}{sen6x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{8x}{1}\cdot \frac{{{e}^{8x}}-1}{8x}\cdot \frac{1}{6x}\cdot \frac{6x}{sen6x} \right)

3️⃣ Tercer Paso:

Simplifica las fracciones no trascendentales.

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{8x}{1}\cdot \frac{{{e}^{8x}}-1}{8x}\cdot \frac{1}{6x}\cdot \frac{6x}{sen6x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{8x}{6x}\cdot \frac{{{e}^{8x}}-1}{8x}\cdot \frac{6x}{sen6x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4x}{3x}\cdot \frac{{{e}^{8x}}-1}{8x}\cdot \frac{6x}{sen6x} \right)

Sacando a 4/3

\displaystyle \frac{4}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{8x}}-1}{8x}\cdot \frac{6x}{sen6x} \right)

4️⃣ Cuarto Paso:

Evaluar el límite de cada factor:

\displaystyle \frac{4}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{8x}}-1}{8x}\cdot \frac{6x}{sen6x} \right)=\frac{4}{3}(1)(1)=\frac{4}{3}

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{8x}}-1}{sen6x}=\frac{4}{3}

Veamos el último ejemplo:

 Problema 5.- Evalúe el siguiente límite 

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-4x}}-1}{x}

1️⃣  Primer Paso: 

Multiplicando el numerador y denominador por (-4)

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-4x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-4}{-4}\cdot \frac{{{e}^{-4x}}-1}{x} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-4}{1}\cdot \frac{{{e}^{-4x}}-1}{-4x} \right)=-4\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-4x}}-1}{-4x}

2️⃣ Segundo Paso:

Evaluando el límite:

\displaystyle -4\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-4x}}-1}{-4x}=-4(1)=-4

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-4x}}-1}{x}=-4