Límites Indeterminados 0/0 - Racionalización

Carlos Julián

Dentro de nuestro estudio de Cálculo Diferencial ,Existen también límites que se indeterminan de la forma 0/0 en la cual es necesario racionalizar el numerador o denominador, esto con el fin de poder encontrar una solución que nos permita encontrar la existencia del límite. Para ello vamos a comprender mejor el tema con algunos ejercicios resueltos.

🔸 Límites Indeterminados caso de Racionalización

Veamos el siguiente ejemplo y su solución:

Problema 1.- Observe el siguiente límite y encuentre el valor mediante el uso de racionalizar el denominador o numerador según sea el caso

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}$

Solución:

Veamos los pasos de solución:

1️⃣ Paso 1:

Evaluamos el límite para ver si el límite se indetermina o no:

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}=\frac{3-3}{\sqrt{3+22}-5}=\frac{0}{\sqrt{25}-5}=\frac{0}{5-5}=\frac{0}{0}$

Comprobamos que el límite se indetermina.

2️⃣ Paso 2:

Racionalizamos el denominador, y después dividimos los factores comunes.

Multiplicando por el conjugado

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}\cdot \frac{\sqrt{x+22}+5}{\sqrt{x+22}+5}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{{{\left( \sqrt{x+22} \right)}^{2}}-{{5}^{2}}}$

Esto daría como resultado:

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{{{\left( \sqrt{x+22} \right)}^{2}}-{{5}^{2}}}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{x+22-25}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x+22}+5$

3️⃣ Paso 3:

Evaluando el límite:

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x+22}+5=\sqrt{3+22}+5=\sqrt{25}+5=5+5=10$

Respuesta:

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}=10$

Problema 2.- Observe el siguiente límite y encuentre el valor mediante el uso de racionalizar el denominador o numerador según sea el caso

$\displaystyle \underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-4}-3}{x-13}$

Solución:

Veamos los pasos de solución:

1️⃣ Paso 1:

Evaluamos el límite para ver si el límite se indetermina o no:

$\displaystyle \underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-4}-3}{x-13}=\frac{\sqrt{13-4}-3}{13-13}=\frac{\sqrt{9}-3}{0}=\frac{0}{0}$

2️⃣ Paso 2:

Racionalizamos el denominador, y después dividimos los factores comunes.

Multiplicando por el conjugado

$\displaystyle \underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-4}-3}{x-13}=\underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-4}-3}{x-13}\cdot \frac{\sqrt{x-4}+3}{\sqrt{x-4}+3}=\underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{x-4} \right)}^{2}}-{{(3)}^{2}}}{\left( x-13 \right)\left( \sqrt{x-4}+3 \right)}$

Esto daría como resultado:

$\displaystyle \underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4-9}{\left( x-13 \right)\left( \sqrt{x-4}+3 \right)}=\underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-13}{\left( x-13 \right)\left( \sqrt{x-4}+3 \right)}=\underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x-4}+3}$

3️⃣ Paso 3:

Evaluando el límite:

$\displaystyle \underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x-4}+3}=\frac{1}{\sqrt{13-4}+3}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$

Respuesta:

$\displaystyle \underset{x\to 13}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-4}-3}{x-13}=\frac{1}{6}$

Problema 3.- Observe el siguiente límite y encuentre el valor mediante el uso de racionalizar el denominador o numerador según sea el caso

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3}$

Solución:

Veamos los pasos de solución:

1️⃣ Paso 1:

Evaluamos el límite para ver si el límite se indetermina o no:

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3}=\frac{4-4}{\sqrt{4+5}-3}=\frac{0}{\sqrt{9}-3}=\frac{0}{3-3}=\frac{0}{0}$

2️⃣ Paso 2:

Racionalizamos el denominador, y después dividimos los factores comunes.

Multiplicando por el conjugado

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3}\cdot \frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x+5}+3 \right)}{\left( x+5 \right)-9}$

De ahí obtenemos:

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x+5}+3 \right)}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x+5}+3$