A continuación se muestra un ejemplo de resuelto del problema 1 de Límites Trigonométricos Indeterminados. 

Nivel de Dificultad: ⭐⭐

Problema 6.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico. 

Ejercicio de límites trigonométricos

Solución:

♦ Nuevamente, si evaluamos el límite, veremos que se indetermina:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{\cos [3(0)]-cos(0)}{{{0}^{2}}}=\frac{\cos \left( 0 \right)-\cos \left( 0 \right)}{0}=\frac{0}{0}

♦ Aplicamos la siguiente identidad trigonométrica:

\displaystyle \cos 3x-\cos x=-2sen\frac{3x-x}{2}sen\frac{3x+x}{2}=-2sen\frac{2x}{2}sen\frac{4x}{2}=-2senxsen2x

♦ Sustituyendo la identidad trigonométrica en el límite, obtenemos:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2senxsen2x}{{{x}^{2}}}

♦ Mandando a -2 al lado izquierdo del límite (por ser constante)

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=-2\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senxsen2x}{{{x}^{2}}}

♦ Podemos aplicar la regla del límite de un producto y distribuir las “x” para cada producto, de esta forma:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=-2\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senx}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen2x}{x}

♦ El primer límite es un límite notable que tiende a 1, por lo que se simplifica:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=-2(1)\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen2x}{x}=-2\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen2x}{x}

♦ Multiplicamos por 2 tanto al numerador y denominador en el límite para poder aplicar también el mismo límite notable anterior:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=-2\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2sen2x}{2x}=-2(2)(1)=-4

Resultado:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x-\cos x}{{{x}^{2}}}=-4