Para entender mucho mejor el tema de los Límites en Cálculo Diferencial, es importante primero conocer las Propiedades de los Límites o también conocido en algunos libros de texto de ésta área como Teorema sobre Límites. La parte de Límites es un dolor de cabeza para muchos estudiantes que se inician en una ingeniería o licenciatura de ciencias exactas, en este artículo vamos a darle un sentido práctico con ejercicios y soluciones paso a paso.

Propiedades de los Límites

⚡ Notación del Límite

La notación del límite, la podemos escribir de la siguiente manera:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L

Para poder entender las reglas de los límites o sus propiedades. Vamos a considerar que los siguientes límites existen:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x),\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x),\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x),...,\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)

1️⃣ Regla de Suma

Esta regla de límites establece que el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)

Regla de Suma Extendida

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{f}_{1}}(x)+...+{{f}_{n}}(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)+...+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)

2️⃣ Regla de una función constante

El límite de una función constante es la constante:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,C=C

3️⃣ Regla de constantes múltiples

El límite de una constante por una función es igual al producto de la constante y el límite de la función:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,kf(x)=k\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)

4️⃣ Regla del Producto

Esta regla nos dice que el límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites (si existen)

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)g(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)

Regla del Producto Extendida

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x){{f}_{2}}(x)...{{f}_{n}}(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x)...\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)

5️⃣ Regla del Cociente

El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites, siempre que el límite en la función del denominador no sea cero:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)}{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)}

Siempre y cuando

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)\ne 0

6️⃣ Regla de la potencia

El límite de la potencia de una función, es igual al límite de la función elevada a la misma potencia.

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f(x) \right]}^{n}}={{\left[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x) \right]}^{n}}

7️⃣ Límite de una función exponencial

Existe también la forma de límite de una función exponencial de la siguiente forma:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{b}^{f(x)}}={{b}^{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)}}

Dónde siempre b >0

8️⃣ Límite de una función logarítmica

En caso de que tengamos una función logarítmica, podemos aplicar la siguiente propiedad:

\displaystyle \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\log }_{b}}f(x) \right]={{\log }_{b}}\left[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x) \right]

Dónde siempre b >0

🔸 Ejercicios Resueltos de Límites

Veamos como resolver los siguientes límites:

Problema 1.- Encuentre el valor del siguiente límite

Límite Logarítmico

Solución:

Si analizamos el límite, la función es el producto de 2x · log x³, entonces podemos aplicar la propiedad de los límites para su solución:

👉 Aplicando la regla del producto

\displaystyle \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x\log {{x}^{3}} \right)=\underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,2x\cdot \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\log {{x}^{3}}

👉 Aplicando la regla de la constante y de la función logarítmica:

\displaystyle \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x\log {{x}^{3}} \right)=2\underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,x\cdot \log \left( \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}} \right)

👉 Evaluando el límite:

\displaystyle \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x\log {{x}^{3}} \right)=2(10)\cdot \log \left( 1000 \right)=20\log \left( 1000 \right)=20(3)=60

Y con eso resolvemos el límite:

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 10}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x\log {{x}^{3}} \right)=60

Problema 2.- Encuentre el valor del siguiente límite

ejercicio de límite

Solución:

La solución de éste límite es muy sencillo, pero siempre recomendamos aplicar las reglas, aunque puede que el procedimiento se haga directo. Siempre recomendaremos seguir las reglas para evitar confusiones.

👉 Aplicando la regla del cociente

\displaystyle \underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}}{1+\sqrt{x}}=\frac{\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,4{{x}^{2}}}{\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\sqrt{x} \right)}

👉 Aplicando la regla de la suma

\displaystyle \underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}}{1+\sqrt{x}}=\frac{4\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}}{\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,1+\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x}}

👉 Evaluando el límite:

\displaystyle \underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}}{1+\sqrt{x}}=\frac{4\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}}{\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,1+\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x}}=\frac{4\cdot {{9}^{2}}}{1+\sqrt{9}}=\frac{4\cdot {{9}^{2}}}{1+3}=\frac{4\cdot {{9}^{2}}}{4}=81

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}}{1+\sqrt{x}}=81

Problema 3.- Suponga que el lim x→1 f(x) = 2, y que el lim x→1 g(x) = 3. Entonces resuelva el siguiente límite

Problema de Límite 3

Solución:

Para poder solucionar este ejemplo, debemos entender las consideraciones que el problema nos pide, que son dos cosas:

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=2

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)=3

👉 Aplicando la regla del cociente

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)3f\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+g\left( x \right)}=\frac{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ g\left( x \right)3f\left( x \right) \right]}{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{f}^{2}}(x)+g(x) \right]}

👉 Aplicando la regla de la suma

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)3f\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+g\left( x \right)}=\frac{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)-\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,3f(x)}{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{f}^{2}}(x)+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)}

👉 Aplicando la regla de la constante y potencia:

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)3f\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+g\left( x \right)}=\frac{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)-\underset{x\to 1}{\mathop{3\lim }}\,f(x)}{{{\left[ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x) \right]}^{2}}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,g(x)}

👉 Evaluando el límite, obtenemos:

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)3f\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+g\left( x \right)}=\frac{3-3(2)}{{{(2)}^{2}}+3}=\frac{3-6}{4+3}=\frac{-3}{7}=-\frac{3}{7}

Por lo que el límite es:

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)3f\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+g\left( x \right)}=-\frac{3}{7}

Problema 4.- Resuelva el siguiente límite trigonométrico

Evaluación del Límite

Solución:

Notemos que al tratarse de una división, podemos escribir la función en dos fracciones con el mismo denominador:

👉 Repartiendo la fracción:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x-4senx}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{9x}{x}-\frac{4senx}{x} \right]

👉 Aplicando la propiedad de suma:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x-4senx}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x}{x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4senx}{x}

Recordar que el límite sen(x)/x existe y además es un límite notable, por eso podemos continuar con las reglas, si no existiera el límite se deja hasta ahí:

👉 Aplicando la propiedad de la constante:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x-4senx}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(9)-4\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{senx}{x}

👉 Evaluando el límite:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x-4senx}{x}=9-4(1)=9-4=5

Por lo que el límite es:

Respuesta:

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x-4senx}{x}=5