Límites cuando tienden al infinito

Carlos Julián

Para entender a los límites cuando tienden al infinito, en nuestro curso de Cálculo Diferencial es importante mencionar los puntos que analizaremos para poder resolver ejercicios paso a paso, sin dificultad alguna.

Los "límites en el infinito" examinan lo que sucede con el valor de la función cuando x se vuelve infinitamente grande.
Para que exista un límite en el infinito, la función debe aproximarse a un valor finito particular.
Las asíntotas horizontales se definen como límites en el infinito.

⭕ Asíntotas Horizontales

Recuerde que una asíntota es un valor al que la función se vuelve realmente, muy cercana a medida que x se hace más y más grande, como en la gráfica a continuación:

gráfica de una asíntota

💡 ¡Esta es exactamente la idea de lo que es un límite en el infinito!

Definición

Supongamos que f(x) se aproxima arbitrariamente a un valor finito particular L a medida que x se vuelve infinitamente grande. Entonces L es el límite de f(x) cuando x va al infinito, y lo escribimos matemáticamente de esta manera:

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$

⚠ Explicación de la Notación

Límite de x cuando tiende al infinito

Límites que tienden a menos infinito

De manera similar, cuando un límite tiende a menos infinito, significa que la función se aproxima a L a medida que x crece infinitamente grande en la dirección negativa.

$\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$

💡 Estimando Límites al infinito con Gráficas y Tablas

Problema 1.- Use la gráfica de abajo para estimar el siguiente límite

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$

Gráfica de problemas de límites al infinito

Solución:

El gráfico parece indicar que el valor de la función se acerca a 4 a medida que x aumenta de tamaño.

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 4$

Problema 2.- Use la gráfica de abajo para estimar los siguientes límites

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$

$\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$

Gráfica de límites al infinito

Solución:

Si observamos el límite cuando x tiende a + infinito, vemos que la función se aproxima a 3, y cuando el límite tiende a - infinito vemos que la función se aproxima a cero. Por lo tanto:

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 3$

$\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 0$

Problema 3.- Use la tabla de abajo para estimar los siguientes límites

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$

Tabla de límites al infinito

Solución:

Cuanto mayor sea la x en la dirección negativa, más cerca se parece estar la función de 8.

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 8$

⭕ Cuando los límites al infinito no existen

Para que exista un límite en el infinito, la función debe aproximarse a un valor finito particular. Considere el siguiente ejemplo:

Problema 4.- Examine el siguiente límite

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,senx$

Solución:

La función seno siempre oscila entre 1 y −1. No importa qué tan grande sea el valor de x, este comportamiento no cambiará (vea la gráfica).

Gráfica del seno cuando x tiende a infinito

🚀 Límites infinitos al infinito

Si el valor de la función se vuelve infinitamente grande a medida que x crece, podemos usar la idea de límites infinitos para describir lo que le está sucediendo a la función.

Problema 5.- Examine el siguiente límite

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}$

Solución:

A medida que x crece, x² también lo hará.

función cuadrática al infinito

Como x² eventualmente se volverá más grande que cualquier valor en particular, podemos decir que la función se vuelve infinitamente grande.

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=\infty$

⚠ ¡Importante! Al igual que antes, decir que el límite es infinito también significa que el límite no existe.

Problema 6.- Use la gráfica de la función f(x) = x + 1/3 x sen 2x para entender el límite cuando x tiende a infinito de dicha función

Solución:

Sea entonces:

$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{3}xsen2x$

Gráfica de una función algebraica

Aunque la función oscila, nunca cae debajo de la línea g(x) = 2/3x Una de las leyes del límite nos dice que desde f(x) ≥ g(x), entonces:

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\ge \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=\infty$

Por lo tanto:

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$

Problema 7.- Use la gráfica y examine el siguiente límite

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,x{{\sin }^{2}}(2x)$

función trascendental

Las oscilaciones de esta función continúan aumentando en amplitud, pero como la función siempre regresa al eje x, no podemos decir que el límite sea infinito.

Respuesta:

$\displaystyle \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,x{{\sin }^{2}}(2x)=no\,existe$

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