Límites cuando tienden al infinito

Para entender a los límites cuando tienden al infinito, en nuestro curso de Cálculo Diferencial es importante mencionar los puntos que analizaremos para poder resolver ejercicios paso a paso, sin dificultad alguna.
- Los "límites en el infinito" examinan lo que sucede con el valor de la función cuando x se vuelve infinitamente grande.
- Para que exista un límite en el infinito, la función debe aproximarse a un valor finito particular.
- Las asíntotas horizontales se definen como límites en el infinito.
⭕ Asíntotas Horizontales
Recuerde que una asíntota es un valor al que la función se vuelve realmente, muy cercana a medida que x se hace más y más grande, como en la gráfica a continuación:
💡 ¡Esta es exactamente la idea de lo que es un límite en el infinito!
Definición
Supongamos que f(x) se aproxima arbitrariamente a un valor finito particular L a medida que x se vuelve infinitamente grande. Entonces L es el límite de f(x) cuando x va al infinito, y lo escribimos matemáticamente de esta manera:
⚠ Explicación de la Notación
Límites que tienden a menos infinito
De manera similar, cuando un límite tiende a menos infinito, significa que la función se aproxima a L a medida que x crece infinitamente grande en la dirección negativa.
💡 Estimando Límites al infinito con Gráficas y Tablas
Solución:
El gráfico parece indicar que el valor de la función se acerca a 4 a medida que x aumenta de tamaño.
Solución:
Si observamos el límite cuando x tiende a + infinito, vemos que la función se aproxima a 3, y cuando el límite tiende a - infinito vemos que la función se aproxima a cero. Por lo tanto:
Solución:
Cuanto mayor sea la x en la dirección negativa, más cerca se parece estar la función de 8.
⭕ Cuando los límites al infinito no existen
Para que exista un límite en el infinito, la función debe aproximarse a un valor finito particular. Considere el siguiente ejemplo:
Solución:
La función seno siempre oscila entre 1 y −1. No importa qué tan grande sea el valor de x, este comportamiento no cambiará (vea la gráfica).
🚀 Límites infinitos al infinito
Si el valor de la función se vuelve infinitamente grande a medida que x crece, podemos usar la idea de límites infinitos para describir lo que le está sucediendo a la función.
Solución:
A medida que x crece, x² también lo hará.
Como x² eventualmente se volverá más grande que cualquier valor en particular, podemos decir que la función se vuelve infinitamente grande.
⚠ ¡Importante! Al igual que antes, decir que el límite es infinito también significa que el límite no existe.
Solución:
Sea entonces:
Aunque la función oscila, nunca cae debajo de la línea g(x) = 2/3x Una de las leyes del límite nos dice que desde f(x) ≥ g(x), entonces:
Por lo tanto:
Las oscilaciones de esta función continúan aumentando en amplitud, pero como la función siempre regresa al eje x, no podemos decir que el límite sea infinito.
Respuesta:
Deja una respuesta
Sigue los siguientes temas