Límites infinitos - Ejercicios Resueltos

Carlos Julián

Se dice que un Límite es infinito , cuando los límites no existen porque la función es infinitamente grande. Por lo general cumplen dos criterios, que son los siguientes:

El límite infinito solo puede ocurrir cuando el límite tiene la forma n/0 para todo n≠0.
Hay la necesidad de examinar los límites unilaterales.

límites infinitos

🔸 Ejemplos Resueltos de Límites Infinitos

Veamos los siguientes ejercicios

Problema 1.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}$

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=\frac{3+2}{3-3}=\frac{5}{0}$

El resultado es un caso de n/0, el límite no existe, pero tiene la forma necesaria para que pueda ser un límite infinito.

2️⃣ Paso 2: Examine el límite por la izquierda.

El numerador se acerca a 5, por lo que será positivo.
Como x se acerca a 3 desde la izquierda, el denominador será negativo.
A medida que el denominador se reduce a 0, la función se vuelve infinitamente grande.

$\displaystyle \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=-\infty$

3️⃣ Paso 3: Examinando el límite por derecha.

El numerador se acerca a 5, por lo que será positivo.
Como x se acerca a 3 desde la derecha, el denominador será positivo.
A medida que el denominador se reduce a 0, la función se vuelve infinitamente grande.

$\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=\infty$

Respuesta:

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{x-3}=no\,existe$

Problema 2.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función

$\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}$

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

$\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}=\frac{{{(-2)}^{2}}-5}{{{(-2)}^{2}}+4(-2)+4}=\frac{4-5}{0}=\frac{-1}{0}$

El límite no existe, pero tiene la forma n/0, por lo que podría ser un límite infinito

2️⃣ Paso 2: Intente factorizar el denominador para que los límites unilaterales sean más fáciles de analizar.

$\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{(x+2)}^{2}}}$

3️⃣ Paso 3: Examinando el límite por ambos lados:

En ambos casos, el numerador se aproxima a -1, por lo que el numerador será negativo.
En ambos casos, el denominador se está cuadrando, por lo que siempre será positivo.
En ambos casos, el denominador se acerca a 0, por lo que la función será infinitamente grande

Ambos límites unilaterales crecen infinitamente grandes hacía la dirección negativa.

Respuesta:

$\displaystyle \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}+4x+4}=-\infty$

Problema 3.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}$

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}=\frac{{{(4)}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8(4)+16}=\frac{0}{0}$

2️⃣ Paso 2: Intente factorizar el denominador para que los límites unilaterales sean más fáciles de analizar.

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-4)(x+4)}{{{(x-4)}^{2}}}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x-4}$

3️⃣ Paso 3: Evaluando el límite nuevamente

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x-4}=\frac{4+4}{4-4}=\frac{8}{0}$

Sabemos que el límite no existe. Ya que tiene la forma n/0, podría ser un límite infinito.

4️⃣ Paso 4: Examine el límite por la izquierda.

El numerador se acerca a 8, por lo que será positivo.
Como x se acerca a 4 desde la izquierda, el denominador será negativo
A medida que el denominador se reduce a 0, la función será infinitamente grande.

$\displaystyle \underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{x-4}=\infty$

Por lo tanto:

Respuesta:

$\displaystyle \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-16}{{{x}^{2}}-8x+16}=no\,existe$

Problema 4.- Evalúe el siguiente límite de la siguiente función

$\displaystyle \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}$

Solución:

1️⃣ Paso 1: Evaluamos el límite

$\displaystyle \underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=\frac{3{{(5)}^{2}}+4(5)}{{{(5)}^{2}}-25}=\frac{3(25)+20}{25-25}=\frac{95}{0}$

El límite no existe, pero tiene la forma n/0, por lo que podría ser un límite infinito.

2️⃣ Paso 2: Examinando el límite por izquierda

El numerador se acerca al 95, por lo que será positivo.
Como x se acerca a 5 desde la izquierda, sabemos que x<5. Esto significa x²<25. Entonces el denominador será negativo.
El denominador se dirige a cero, por lo que la función será infinitamente grande.

Estas consideraciones significan que:

$\displaystyle \underset{x\to {{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=-\infty$

3️⃣ Paso 3: Examinando el límite por derecha.

El numerador se acerca al 95, por lo que será positivo.
Como x se acerca a 5 desde la derecha, sabemos que x>5. Esto significa x²>25. Entonces el denominador será positivo.
El denominador se dirige a cero, por lo que la función será infinitamente grande.

Estas consideraciones significan que:

$\displaystyle \underset{x\to {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{2}}-25}=\infty$