Mientras estudiamos a los vectores en nuestros artículos, hemos hablado del ángulo que existe entre dos vectores pero ocurre un pequeño detalle, los vectores que hemos calculado hasta ahora han sido en dos dimensiones, es decir; su representación solamente ha sido a través de un plano cartesiano de dos ejes, el eje de las ordenadas “Y” y el eje de las abscisas “X”, ahora es momento de hablar de un vector que se encuentra en un plano tridimensional, donde agregaremos un eje más, que lo llamaremos el eje “Z”, entonces de aquí viene  el nombre de cosenos directores. 

Pues bien, en un espacio XYZ , los vectores también poseen ángulos y para calcularlos es necesario emplear un método más, llamado como “cosenos directores”.

¿Qué son los cosenos directores de un vector?

los cosenos directores son ángulos de dirección de un vector que se encuentra en un espacio tridimensional, a diferencia de un vector que se encuentra en el plano y que su forma de medir el ángulo es en base al eje positivo de las abscisas y en sentido contrario a las agujas del reloj.

En el espacio tridimensional se debe tomar en cuenta a partir del vector, y que éste vector  sea un vector no nulo , ¿qué es un vector no nulo?, aquél vector que no tiene coordenadas (0,0,0), o sea que éste solamente será aplicado a un vector que al menos tenga un valor en sus coordenadas, simplemente debe evitarse que sea cero.

Para entenderlo mejor, veamos la siguiente gráfica.

En la imagen observamos a los vectores unitarios i, j, k, también vemos los ángulos alfa, beta y gama ; nuestros ángulos de dirección o directores del vector “v”.

Asumiendo las componentes del vector “v”:

\displaystyle v=\langle {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}}\rangle

Se establece entonces la siguiente fórmula:

\displaystyle \cos \alpha =\frac{{{v}_{1}}}{\left| v \right|}

Qué sería el ángulo comprendido entre el vector unitario i y el vector “v”.

\displaystyle \cos \beta =\frac{{{v}_{2}}}{\left| v \right|}

Qué sería el ángulo comprendido entre el vector unitario j y el vector “v”.

\displaystyle \cos \gamma =\frac{{{v}_{3}}}{\left| v \right|}

Qué sería el ángulo comprendido entre el vector unitario k y el vector “v”.

Finalmente, nuestra fórmula es la siguiente:

\displaystyle \frac{v}{\left| v \right|}=\frac{{{v}_{1}}}{\left| v \right|}i+\frac{{{v}_{2}}}{\left| v \right|}j+\frac{{{v}_{3}}}{\left| v \right|}k=\cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k

De aquí también podemos afirmar nuestra propiedad pitagorica.

\displaystyle {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma =1

Ok, teniendo todo esto bien, ahora es momento de prácticar 😎

Ejemplos Resueltos de Cosenos Directores

Ejemplo 1.- Calcular los cosenos y ángulos directores del vector v = 2i + 4j – 3k y comprobar que cos²α + cos²β + cos²γ = 1

Solución: Lo primero que tenemos que hacer será calcular el módulo de nuestro vector, recordemos que la magnitud de un vector se calcula de la siguiente forma:

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}=\sqrt{29}

Si sabemos su magnitud ahora es momento de calcular los cosenos directores.

\displaystyle \cos \alpha =\frac{{{v}_{1}}}{\left| v \right|}=\frac{2}{\sqrt{29}}

Aplicando el cos¯¹ para encontrar el valor del ángulo alfa, tenemos.

\displaystyle \alpha ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{2}{\sqrt{29}} \right)=68.20{}^\circ

Calculamos la magnitud para el siguiente ángulo, correspondiente.

\displaystyle \cos \beta =\frac{{{v}_{2}}}{\left| v \right|}=\frac{4}{\sqrt{29}}

Aplicamos lo mismo para el ángulo beta, y tenemos:

\displaystyle \beta ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{4}{\sqrt{29}} \right)=82.07{}^\circ

Volvemos a realizar la magnitud para el último ángulo.

\displaystyle \cos \gamma =\frac{{{v}_{3}}}{\left| v \right|}=\frac{-3}{\sqrt{29}}

Y finalmente procedemos a calcular el ángulo gamma, por lo que tenemos:

\displaystyle \gamma ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{-3}{\sqrt{29}} \right)=123.85{}^\circ

b) Comprobamos la propiedad:

\displaystyle {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma =1

Que sustituyendo tenemos:

\displaystyle {{\left( \frac{2}{\sqrt{29}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sqrt{29}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-3}{\sqrt{29}} \right)}^{2}}=\frac{4}{29}+\frac{16}{29}+\frac{9}{29}=\frac{29}{29}=1

Ejemplo 2.- Calcular los cosenos y ángulos directores del vector  v = –i + 5j + 2k

Solución: Como ya vimos el ejemplo anterior de como resolver los cosenos directores y ángulos, vamos hacer el procedimiento mucho más rápido

1.- Lo primero es nuestro módulo:

\displaystyle \left| v \right|=\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{5}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{30}

2.- Ahora calculamos los cosenos directores de cada ángulo:

Para alfa – α

\displaystyle \cos \alpha =\frac{{{v}_{1}}}{\left| v \right|}=\frac{-1}{\sqrt{30}}

\displaystyle \alpha ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{-1}{\sqrt{30}} \right)=100.52{}^\circ

Para beta – β

\displaystyle \cos \beta =\frac{{{v}_{2}}}{\left| v \right|}=\frac{5}{\sqrt{30}}

\displaystyle \beta ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{5}{\sqrt{30}} \right)=24.09{}^\circ

Para gamma – γ

\displaystyle \cos \gamma =\frac{{{v}_{3}}}{\left| v \right|}=\frac{2}{\sqrt{30}}

\displaystyle \gamma ={{\cos }^{-1}}\left( \frac{2}{\sqrt{30}} \right)=68.58{}^\circ

Y con esto finalmente terminamos los dos ejemplos de cosenos directores, podríamos colocar más, pero sabemos de antemano que con estos ejercicios podrás resolver cuántos problemas sean, ¿tienes dudas?, hazlo saber en nuestra caja de comentarios