Regla de Cramer - Ejercicios Resueltos

Carlos Julián

Eyyy qué tal?? bien, el día de hoy tenemos un artículo más práctico que teórico, se trata de la regla de Cramer que seguramente ya la hayas escuchado, quizá en la prepa o en la universidad, o alguien te la contó, pues bien, no importa por ahora donde la aprendiste, pero si es interesante que la entiendas porque te servirá demasiado, es como un truco dentro del álgebra lineal y la solución a sistemas de ecuaciones lineales. 😀

Se le llama Regla de Cramer en honor al matemático suizo Gabriel Cramer nacido allá por el siglo XVII, a pesar de su descubrimiento en dicha investigación, hubo otro matemático llamado Maclaurin que también había asegurado haber realizado la misma investigación con más anticipación que Cramer, pero bueno, eso ya seria un poco de historia, y por ahora nos centraremos más en el método.

Este procedimiento matemático la aplicaremos para calcular soluciones de sistemas lineales, no sin antes mencionar la fórmula matemática que nos facilitará el cálculo.

Asumiendo que un sistema de ecuaciones está dado por:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}\\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}\end{array}$

Entonces, la solución general del sistema:

Para "x" tenemos:

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} {{c}_{1}} & {{b}_{1}} \\ {{c}_{2}} & {{b}_{2}} \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} \\ \end{matrix} \right|}$

Para "y" tenemos:

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{c}_{1}} \\ {{a}_{2}} & {{c}_{2}} \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} \\ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} \\ \end{matrix} \right|}$

Debemos de recordar unas cosas antes de empezar a resolver sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo; según los resultados podemos concluir que tipo de rectas son:

1️⃣ Concurrentes: Si los determinantes son diferentes de cero.
2️⃣ Coincidentes: Si los determinantes son todos iguales a cero.
3️⃣ Paralelas: Si únicamente el determinante denominador es igual a cero.

⚡ Ejercicios Resueltos Regla de Cramer 2x2

Ahora es momento de resolver mediante la regla de Cramer paso a paso un sistema de ecuaciones de 2x2, veamos:

Problema 1.- Resuelva el siguiente sistema mediante la regla de Cramer.

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 4x-y=-9 \\ 3x+5y=-1 \\ \end{matrix} \right.$

Solución:

Haciendo uso de la fórmula que dijimos anteriormente, tenemos entonces que la determinante general es:

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 4 & -1 \\ 3 & 5 \\ \end{matrix} \right|=(4)(5)-(-1)(3)=20+3=23\ne 0$

Como el determinante es diferente de cero, entonces decimos que la solución es concurrente.

Ahora calculamos las soluciones.

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} -9 & -1 \\ -1 & 5 \\ \end{matrix} \right|}{23}=\frac{(-9)(5)-(-1)(-1)}{23}=\frac{-45-1}{23}=\frac{-46}{23}=-2$

Por lo que la solución en x = -2

Calculemos a "y"

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 4 & -9 \\ 3 & -1 \\ \end{matrix} \right|}{23}=\frac{(4)(-1)-(-9)(3)}{23}=\frac{-4+27}{23}=\frac{23}{23}=1$

Por lo que la solución en y = 1

Problema 2.- Por la regla de Cramer resuelva el siguiente sistema:

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 2x-y=4 \\ 6x-3y=12 \\ \end{matrix} \right.$

Solución:

Es momento de calcular la determinante general del sistema, para ver que tipo de solución es:

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 6 & -3 \\ \end{matrix} \right|=(2)(-3)-(-1)(6)=-6+6=0$

Uff, aquí tenemos una determinante general de cero, por lo que la solución a las rectas son coincidentes, o sea que son rectas que están encimadas.

Ahora si deseamos encontrar la solución para "x" y para "y", vamos a observar que:

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} 4 & -1 \\ 8 & -2 \\ \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(4)(-2)-(-1)(8)}{0}=\frac{-8+8}{0}=\frac{0}{0}$

Veamos ahora con y

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \\ \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(2)(8)-(4)(4)}{0}=\frac{16-16}{0}=\frac{0}{0}$

Con esto tenemos más que claro, que el sistema corresponde a rectas coincidentes.

Problema 3.- Encuentre la solución para el siguiente sistema de ecuaciones, por el método de cramer.

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} 2x-y=5 \\ -6x+3y=2 \\ \end{matrix} \right.$

Solución:

Pasamos a encontrar la determinante general del sistema:

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \\ \end{matrix} \right|=(2)(3)-(-1)(-6)=6-6=0$

Si obtenemos un determinante de cero en el denominador, podemos decir que corresponde al caso de las rectas paralelas.

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(5)(3)-(-1)(2)}{0}=\frac{15+2}{0}=\frac{17}{0}$

Pero la división por cero no está definida. Veamos que ocurre con la otra variable.

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ -6 & 2 \\ \end{matrix} \right|}{0}=\frac{(2)(2)-(5)(-6)}{0}=\frac{4+30}{0}=\frac{34}{0}$

Con esto comprobamos que el sistema no tiene solución, es decir las rectas jamás se tocan, y es lógico, pues ambas rectas son paralelas.

⭐ Ejercicios Resueltos de Regla de Cramer de 3x3

Sin duda, el proceso para calcular la solución de un sistema de ecuaciones de 3x3 pro la regla de cramer, es un proceso tedioso, pero no deja de ser interesante 😎

Veamos ahora la regla para poder encontrar primero la determinante general:

Sea un determinante un arreglo rectangular de tres por tres:

$\displaystyle \left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{a}_{2}} & {{a}_{3}} \\ {{b}_{1}} & {{b}_{2}} & {{b}_{3}} \\ {{c}_{1}} & {{c}_{2}} & {{c}_{3}} \\ \end{matrix} \right|$

Para encontrar el determinante de un arreglo de ésta forma, tenemos que repetir los 2 primeros renglones al final, y verificar la solución de la siguiente forma:

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\ {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \\ {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\ {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\ \end{matrix} \right|=\left( {{a}_{1}}{{b}_{2}}{{c}_{3}}+{{a}_{2}}{{b}_{3}}{{c}_{1}}+{{a}_{3}}{{b}_{1}}{{c}_{2}} \right)-\left( {{a}_{2}}{{b}_{1}}{{c}_{3}}+{{a}_{1}}{{b}_{3}}{{c}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{2}}{{c}_{1}} \right)$

Según la Wikipedia, teniendo el sistema:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by+cz=j \\ dx+ey+fz=k \\ gx+hy+iz=l \\ \end{array} \right.$

Para la solución en "x" Tenemos que:

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} j & b & c \\ k & e & f \\ l & h & i \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right|}$

Para la solución en "y" tenemos que:

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} a & j & c \\ d & k & f \\ g & l & i \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right|}$

Para la solución en "z" tenemos que:

$\displaystyle z=\frac{\left| \begin{matrix} a & b & j \\ d & e & k \\ g & h & l \\ \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right|}$

Veamos entonces un problema:

Ejemplo 4.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de 3x3 mediante la regla de Cramer

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+2y-z=12 \\ x-y+4z=19 \\ 5x-3y+z=8 \\ \end{array} \right.$

Solución:

Para encontrar el determinante general, lo hacemos de la siguiente manera, es importante tener conocimiento de las determinantes

$\displaystyle D=\left| \begin{matrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 5 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|$

Por lo que:

$\displaystyle 3\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(-3)-(-1)(5) \right]$

Así que

$\displaystyle 3(-1+12)-2(1-20)-1(-3+5)=3(11)-2(-19)-1(2)=69$

Nuestro determinante equivale a 69.

La solución para "x".

$\displaystyle x=\frac{\left| \begin{matrix} 12 & 2 & -1 \\ 19 & -1 & 4 \\ 8 & -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|=12\left| \begin{matrix} -1 & 4 \\ -3 & 1 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 19 & 4 \\ 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 19 & -1 \\ 8 & -3 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

Luego tenemos que:

$\displaystyle x=\frac{12\left[ (-1)(1)-(4)(-3) \right]-2\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-1\left[ (19)(-3)-(-1)(8) \right]}{D}$

Así que:

$\displaystyle x=\frac{12(-1+12)-2(19-32)-1(-57+8)}{D}$

Luego:

$\displaystyle x=\frac{12(11)-2(-13)-1(-49)}{69}$

Finalmente:

$\displaystyle x=\frac{207}{69}=3$

x = 3

Ahora veamos:

La solución para "y".

$\displaystyle y=\frac{\left| \begin{matrix} 3 & 12 & -1 \\ 1 & 19 & 4 \\ 5 & 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} 19 & 4 \\ 8 & 1 \\ \end{matrix} \right|-12\left| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 5 & 1 \\ \end{matrix} \right|-1\left| \begin{matrix} 1 & 19 \\ 5 & 8 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

Con esto obtenemos el proceso para encontrar a "y":

$\displaystyle y=\frac{3\left[ (19)(1)-(4)(8) \right]-12\left[ (1)(1)-(4)(5) \right]-1\left[ (1)(8)-(19)(5) \right]}{D}$

Así que:

$\displaystyle y=\frac{3(19-32)-12(1-20)-1(8-95)}{D}$

$\displaystyle y=\frac{3(-13)-12(-19)-1(-87)}{69}$

Finalmente obtenemos que:

$\displaystyle y=\frac{276}{69}=4$

y = 4

Ahora veamos la solución que tenemos para "z"

La solución para "z"

$\displaystyle z=\frac{\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 19 \\ 5 & -3 & 8 \\ \end{matrix} \right|=3\left| \begin{matrix} -1 & 19 \\ -3 & 8 \\ \end{matrix} \right|-2\left| \begin{matrix} 1 & 19 \\ 5 & 8 \\ \end{matrix} \right|+12\left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{matrix} \right|}{D}$

Desarrollando las determinantes:

$\displaystyle z=\frac{3\left[ (-1)(8)-(19)(-3) \right]-2\left[ (1)(8)-(19)(5) \right]+12\left[ (1)(-3)-(-1)(5) \right]}{D}$

Así que:

$\displaystyle z=\frac{3(-8+57)-2(8-95)+12(-3+5)}{D}$

$\displaystyle z=\frac{3(49)-2(-87)+12(2)}{69}$

Por lo que:

$\displaystyle z=\frac{345}{69}=5$

z = 5

Y con esto podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3, en este ejemplo x =3, y = 4, z =5.

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22 ¿Tienes dudas?

Santiago dice:

enero 3, 2018 a las 11:36 am

Muchas gracias por vuestro esfuerzo, la verdad es que nos sirve de mucha ayuda.

Responder
1. Fermat dice:
  
  enero 5, 2018 a las 2:09 pm
  
  Gracias Santiago, hacemos todo por ayudar y dar nuestro granito de arena.
  
  Responder
  1. alejandro ramses gonzalez paz dice:
    
    mayo 3, 2020 a las 11:07 am
    
    En tú opinión en 3 ideas sobre la aplicabilidad del Teorema de Cramer en algún ámbito de nuestra vida diaria, laboral, investigación, entre otros. Y tu conclusión.
    
    Responder
  2. alejandro ramses gonzalez dice:
    
    mayo 3, 2020 a las 11:09 am
    
    Me podrían ayudar con esta pregunta ? tú opinión en 3 ideas sobre la aplicabilidad del Teorema de Cramer en algún ámbito de nuestra vida diaria, laboral, investigación
    
    Responder
Ing. Cesar Seclen dice:

enero 4, 2018 a las 6:57 am

Excelente material bibliográfico y mis felicitaciones por la explicación paso a paso.Es de gran ayuda su pagina.Saludos desde Huaraz-Peru.

Responder
1. Fermat dice:
  
  enero 5, 2018 a las 2:08 pm
  
  Gracias por visitarnos y que haya servido de ayuda. Muchas gracias 😀
  
  Responder
Dayana dice:

enero 7, 2018 a las 10:55 am

Wow ahora entiendo mucho mejor
Gracias
Su material me sirvio de muchoo🤗🤗
Sigan haciendolo asi de bien

Responder
Armando Illescas dice:

marzo 6, 2018 a las 5:23 pm

que tal ... me podrias por favor explicar porque me salieron numeros distintos... pero tambien se ajusta a las ecuaciones.. para las determinantes use el metodo de Sarrus..
x=109/73
y=102/73
z=345/73

Responder
1. Armando Illescas dice:
  
  marzo 6, 2018 a las 5:24 pm
  
  me refiero al ejemplo 4
  
  Responder
Christian dice:

marzo 7, 2018 a las 7:56 pm

Muy buena explicación

Responder
Luis fernando dice:

marzo 25, 2018 a las 12:40 pm

Me pueden ayudarme el solucion es (cramer) determinates
2x+5y=20
x-2y=1

Responder
1. Moni dice:
  
  mayo 8, 2018 a las 9:48 pm
  
  Det de 2 5 es 2.(-2) - 5.1 = -4-5= -9
  1 -2
  Det(x) es Det de 20 5 es igual a 20.(-2) - 5.1 = -40-5 = -45
  1 -2
  Det(y) es Det de 2 20 es igual a 2.1 - 20.1 = 2 - 20 = -18
  1 1
  x = (-45) / (-9) = 5
  y = (-18) / (-9) = 2
  
  Responder
JENY MAGALY GUAPULEMA DELGADO dice:

julio 27, 2018 a las 12:21 pm

urgente me pueden ayudar usando la regla de cramer calcular los siguientes sistemas de ecuaciones
1) x+2y-2z=10
4x-y+z=4
-2y+y+z=-2
2) 2x-y+z-2t=-5
2x+2y-3z+t=-1
-x+y-z=-1
4x-3y+2z-3t=-8

Responder
1. Fermat dice:
  
  agosto 7, 2018 a las 12:37 pm
  
  Jeny es lo más sencillo, ¿por qué no te registras en nuestro grupo de Facebook?.
  
  Responder
JUAN dice:

septiembre 2, 2018 a las 7:44 pm

MUY BUENA

Responder
1. Carlos Alberto dice:
  
  septiembre 6, 2018 a las 8:00 am
  
  Esperamos que te haya servido Juan! Saludos.
  
  Responder
eidy torres dice:

septiembre 13, 2018 a las 10:41 pm

Un puesto de frutas situado a la vera de un camino vende manzanas a 0.75
la libra, duraznos a $0.90 la libra y peras a $0.60 la libra. Muriel compra 18
libras de fruta a un costo total de $13.80. Sus duraznos y peras juntos
costaron $1.80 más que sus manzanas.
a) Establezca un sistema lineal para hallar el número de libras de
manzanas, duraznos y peras que ella compró.
b) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer.

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ivan angel dice:

septiembre 17, 2018 a las 8:44 pm

muy bueno pero me podrán ayudar con este es que es urgente
-x+2y+4z=1
4x+6y-2z=2
x-y+6z=3

Responder
Adrian dice:

noviembre 2, 2018 a las 12:01 pm

3x-2y =-1
4x+z =-28
X+2y+3z=-43

Responder
Angela andrea ticona aliaga dice:

noviembre 7, 2018 a las 1:28 pm

Me pueden ayudar en este problema
3x-2y= 0
3y-4z=25
z-5y=-14

Responder
MARIAJOSE dice:

marzo 13, 2019 a las 6:51 pm

ALGUIEN ME PUEDE AYUDAR CON UNOS EJERCIOS PORFAPara cada uno de los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas, determine si hay una solución única y obtenga la solución si existe, utilizando la regla de Cramer. Desarrolle cada ejercicio paso a paso:

Responder
fer dice:

noviembre 24, 2021 a las 3:26 pm

1.Diseñe un problema de aplicación utilizando la regla de Cramer para maximización de utilidades y resuélvalo.
2. Diseñe un problema de aplicación utilizando la regla de Cramer para maximización de producción y resuélvalo.
3. Diseñe un problema de aplicación utilizando la regla de Cramer para minimización de costos y resuélvalo.

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