¿Cómo determinar si un límite no existe?

Carlos Julián

Dentro de nuestro estudio de Cálculo diferencial, debemos de comprender las reglas generales para determinar si un límite existe o no existe. Entonces en nuestro estudio será analizar en, ¿cómo determinar si un límite no existe?, y ver los diversos casos. 😊👇

📃 Las reglas para determinar si un límite existe

Los límites por lo general no existen por una de cuatro razones:

Los límites unilaterales no son iguales
La función no se aproxima a un valor finito (ver Definición Básica de Límite).
La función no se aproxima a un valor particular (oscilación).
El valor de x se aproxima al punto final de un intervalo cerrado

🔸 Ejemplos para analizar si existe o no un límite

Problema 1.- Use la gráfica de abajo para entender por qué lim x → 3 f(x) no existe.

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)$

El límite no existe

Solución:

Si analizamos la gráfica y el límite, podemos darnos cuenta que f(x) se acerca a dos valores diferentes, dependiendo de qué dirección se acerque x, de la gráfica vemos que por izquierda (azul) f(x) se acerca a 2, y por derecha (rojo) se acerca a 3.

Es decir, que matemáticamente lo podemos escribir de la siguiente forma:

$\displaystyle \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 2$

$\displaystyle \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\approx 3$

Aunque la gráfica solo nos permite aproximarnos a los límites de un lado, es cierto que el valor f(x) se está acercando dependiendo de la dirección de donde proviene x. Por lo tanto, el límite no existe.

Problema 2.- Use la gráfica de abajo para entender por qué lim x → a f(x) no existe.

existencia de límite

Solución:

Para que exista un límite, la función debe aproximarse a un valor particular. En el caso que se muestra arriba, las flechas en la función indican que la función se vuelve infinitamente grande. Como la función no se aproxima a un valor particular, el límite no existe.

Problema 3.- Calcule el siguiente límite y compruebe si existe o no existe.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,sen(\frac{1}{x})$

Gráfica del seno (1/x)

Solución:

Algo interesante sucede cuando se examina f(x) = sen (1/x) a medida que x se acerca a 0. La función comienza a oscilar cada vez más rápido. Entonces podríamos concluir que Ccuanto más se acerca x a 0, más rápido oscila la función entre 1 y -1. ¿Se aproxima f (x) a un valor único y particular? No, no eso no ocurre. En consecuencia, el límite no existe.

Problema 4.- Calcule el siguiente límite y compruebe qué sucede cuando dicho límite se aproxima a cero.

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x}$

Comprobar si el límite existe

Solución:

Como esta función solo está definida para los valores de x a la derecha de 0, no podemos permitir que x se acerque desde la izquierda, porque la gráfica de la función así es. Para decir que el límite existe, la función tiene que aproximarse al mismo valor independientemente de la dirección de la que viene x (Nos hemos referido a esto como independencia de la dirección). Como eso no es cierto para esta función cuando x se acerca a 0, el límite no existe.

En casos como este, podríamos considerar el uso de límites unilaterales. Qué es el tema qué se verá más adelante.

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