Una forma de entender el tema de límite, es analizando los casos que podemos encontrar dentro de este estudio, por ejemplo. Si f(x) se acerca realmente, realmente, muy cerca de L cuando x se vuelve realmente, realmente, realmente y cerca de a, entonces llamamos a L el límite de f.

👉 Definición del límite de una función

Supongamos que f(x) se aproxima arbitrariamente a un determinado valor finito L a medida que x se aproxima arbitrariamente a algún valor a. Luego, decimos “L es el límite de f cuando x se acerca a a“, y escribimos esto como:

Límite de una función

⭕ Ejemplos de casos de Límites

Veamos algunos casos de límites que se estudian en el cálculo diferencial.

Ejemplo 1: El límite existe

Definición de Límite de una función

Ya sea que x se acerque a “a” desde la izquierda o desde la derecha, la función se acerca a L (vea el eje “Y”).

Ejemplo 2: No hay límite

Para que exista un límite, el valor al que se aproxima la función debe ser independiente de la dirección de la que proviene el valor x. Este fue el caso en el ejemplo anterior. Por el contrario, la siguiente función se aproxima a dos valores diferentes a medida que x se acerca a “a”.

Definición de límite

En este ejemplo, el valor al que se acerca la función depende de la dirección, por lo que la función no tiene un límite cuando x se acerca a “a”.

Ejemplo 3: Sin valor finito

Otra parte muy importante de la definición es que la función debe aproximarse a un valor finito. No puede volverse infinitamente grande, como en el siguiente ejemplo.

Sin valor finito

El límite cuando x se acerca a “a” no existe porque los valores de la función son infinitamente grandes a medida que x se acerca a a.

📃 Resumen

  • La independencia de la dirección: significa que la función va al mismo valor desde el lado derecho y el lado izquierdo. En otras palabras, el valor al que se aproxima f(x) es independiente de la dirección (izquierda vs derecha).
  • El valor al que se aproxima f(x) debe ser finito. En nuestros ejemplos, el valor finito siempre se llamó L. Por otro lado, el ejemplo 3 ilustra una situación que no cumple con el requisito de la definición básica de un límite porque en el ejemplo 3 no hay un valor finito al que se acerque f(x) .