Límites Trigonométricos - Ejercicios Resueltos

En el tema de Límites y Continuidad de Funciones del área de Cálculo Diferencial, es importante tener en cuenta el uso correcto de límites para ciertas funciones, en este artículo hablamos exclusivamente sobre los límites trigonométricos y sus posibles soluciones. Hacemos también uso de una tabla de ángulos notables que ayudará a resolver ejercicios sin dificultades. 🤓

👉 Tabla de Ángulos Notables

A continuación podemos apreciar, la tabla de valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables.

Recordar que los ángulos están expresados en radianes, por ejemplo:

• Sen (π/4) = sen (180°/4) = sen (45°) = √2/2

🔸 Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos

Resuelva los siguientes problemas de límites trigonométricos.

Solución:

Sustituimos el valor de x = 0 en la función, y obtenemos:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x}{x+3}=\frac{\cos 3(0)}{0+3}=\frac{\cos 0}{3}=\frac{1}{3}$

Nota: Si observamos la tabla, el cos 0° = 1

Respuesta:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos 3x}{x+3}=\frac{1}{3}$

Solución:

Al sustituir el valor de x = π/6 en la función:

$latex \displaystyle \underset{\theta \to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\left( sen\theta +\cos \theta \right)=sen\frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Nota: Nos hemos guiado en la tabla de ángulos notables para poder darle solución más rápida:

Respuesta:

$latex \displaystyle \underset{\theta \to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\left( sen\theta +\cos \theta \right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Solución:

Sustituyendo el valor de w = 0, en la función:

$latex \displaystyle \underset{w\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\tan }^{2}}w-1}{{{\tan }^{2}}w+1}=\frac{{{\tan }^{2}}(0)-1}{{{\tan }^{2}}(0)+1}=\frac{0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1$

Respuesta:

$latex \displaystyle \underset{w\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\tan }^{2}}w-1}{{{\tan }^{2}}w+1}=-1$

Solución:

Sustituimos el valor de x = π/2, en la función:

$latex \displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,sen\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=sen\left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)\cos \left( \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4} \right)=sen\left( \frac{\pi }{4} \right)\cos \left( \frac{3}{4}\pi \right)$

Observe lo siguiente:

$latex \displaystyle \frac{\pi }{4}=45{}^\circ $

$latex \displaystyle \frac{3\pi }{4}=135{}^\circ $

Entonces, siguiendo el límite:

$latex \displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,sen\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

Respuesta:

$latex \displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,sen\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{2}$

Solución:

Sustituimos el valor de x = 0, en la función:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{4\cos x}{senx+\cos x}}=\sqrt{\frac{4\cos (0)}{sen(0)+\cos (0)}}=\sqrt{\frac{4(1)}{0+1}}=\sqrt{\frac{4}{1}}=\sqrt{4}=2$

Por lo que:

Respuesta:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{4\cos x}{senx+\cos x}}=2$

Solución:

Sustituyendo el valor de h = π/3, en la función:

$latex \displaystyle \underset{h\to \frac{\pi }{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tanh }{se{{n}^{2}}h-1}=\frac{\tan \left( \frac{\pi }{3} \right)}{se{{n}^{2}}\left( \frac{\pi }{3} \right)-1}=\frac{\sqrt{3}}{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{3}{4}-1}=\frac{\sqrt{3}}{-\frac{1}{4}}=-4\sqrt{3}$

Por lo que:

Respuesta:

$latex \displaystyle \underset{h\to \frac{\pi }{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tanh }{se{{n}^{2}}h-1}=-4\sqrt{3}$

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