Guía del IPN 2023 Resuelta - Parte 6

Seguimos con los demás ejercicios de Álgebra parte 6 de la guía del ipn 2023 resuelta, poblemas del (16 al 29)

Solución:

El modelo señala proporcionalidades directas e inversas para el bienestar de un habitante.

1. El bienestar es inversamente proporcional al cuadrado de la edad: $\displaystyle {{B}_{e}}\propto \frac{1}{{{{E}^{2}}}}$
2. El bienestar es directamente proporcional al cubo de su salario: $\displaystyle {{B}_{e}}\propto {{s}^{3}}$
3. El bienestar es directamente proporcional a los años que lleva de casado: $\displaystyle {{B}_{e}}\propto A$

Si involucra las constantes de proporcionalidad, la ecuación que representa el bienestar es:

$\displaystyle {{B}_{e}}=\gamma \frac{{{{s}^{3}}A}}{{{{E}^{2}}}}$

Por lo tanto la respuesta es el inciso d

Solución:

Se realiza una suma de fracciones algebraicas:

$\displaystyle \frac{3}{{{{x}^{2}}-5}}-5=\frac{3}{{{{x}^{2}}-5}}-5\frac{{{{x}^{2}}-5}}{{{{x}^{2}}-5}}$

Reduciendo se tiene:

$\displaystyle \frac{{3-5\left( {{{x}^{2}}-5} \right)}}{{{{x}^{2}}-5}}=\frac{{3-5{{x}^{2}}+25}}{{{{x}^{2}}-5}}=\frac{{28-5{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-5}}$

Por lo tanto la respuesta es el inciso a

Solución:

Procedemos a realizar la resta:

$\displaystyle \frac{2}{{x-2}}-\frac{{3x}}{{x+2}}=\frac{{2\left( {x+2} \right)-3x\left( {x-2} \right)}}{{{{x}^{2}}-4}}$

Realizamos las multiplicaciones correspondientes:

$\displaystyle \frac{2}{{x-2}}-\frac{{3x}}{{x+2}}=\frac{{2x+4-3{{x}^{2}}+6x}}{{{{x}^{2}}-4}}$

Simplificar

$\displaystyle \frac{2}{{x-2}}-\frac{{3x}}{{x+2}}=\frac{{-3{{x}^{2}}+8x+4}}{{{{x}^{2}}-4}}$

Por lo tanto, el resultado es

$\displaystyle \frac{{-3{{x}^{2}}+8x+4}}{{{{x}^{2}}-4}}$

Así que la respuesta le corresponde al inciso c

Solución:

Primero se realiza la racionalización de $\displaystyle \frac{{x-2}}{{\sqrt{x}-\sqrt{2}}}$

Multiplicar por el complemento de la racionalización:

$\displaystyle =\frac{{\left( {x-2} \right)}}{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{2}} \right)}}\cdot \left( {\frac{{\sqrt{x}+\sqrt{2}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{2}}}} \right)$

Realizar los productos notables:

$\displaystyle \frac{{\left( {x-2} \right)\left( {\frac{{\sqrt{x}+\sqrt{2}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{2}}}} \right)}}{{\left( {\sqrt{x}-\sqrt{2}} \right)\left( {\sqrt{x}+\sqrt{2}} \right)}}$

Simplificar:

$\displaystyle =\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {\sqrt{x}+\sqrt{2}} \right)}}{{\left( {x-2} \right)}}$

$\displaystyle =\sqrt{x}+\sqrt{2}$

Por lo que la respuesta corresponde al inciso b

Solución:

Identificamos que solo se tiene una base, la cual es 10; entonces se recorre el punto y multiplicamos para sumar los números en el exponente:

$\displaystyle \frac{{3\times {{{10}}^{8}}}}{{\sqrt{{1\times {{{10}}^{5}}}}\cdot \sqrt{{1\times {{{10}}^{9}}}}}}=\frac{{3\times {{{10}}^{8}}}}{{\sqrt{{1\times {{{10}}^{{14}}}}}}}=\frac{{3\times {{{10}}^{8}}}}{{\sqrt{1}\times {{{10}}^{7}}}}$

Aplicamos la resta de potencias en la base de 10

$\displaystyle =3\times {{10}^{{8-7}}}=3\times {{10}^{1}}=30$

Por lo que la respuesta es el inciso a

Solución:

Aplicar la siguiente propiedad de los expontentes:

$\displaystyle \frac{{{{a}^{n}}}}{{{{a}^{m}}}}={{a}^{{n-m}}}$

Entonces obtenemos:

$\displaystyle \frac{{{{x}^{8}}{{y}^{4}}{{z}^{{-8}}}}}{{{{x}^{{-3}}}{{y}^{3}}{{z}^{{-2}}}}}={{x}^{{8-(-3)}}}{{y}^{{4-3}}}{{z}^{{-8-(-2)}}}$

$\displaystyle \frac{{{{x}^{8}}{{y}^{4}}{{z}^{{-8}}}}}{{{{x}^{{-3}}}{{y}^{3}}{{z}^{{-2}}}}}={{x}^{{8+3}}}{{y}^{{4-3}}}{{z}^{{-8+2}}}$

$\displaystyle \frac{{{{x}^{8}}{{y}^{4}}{{z}^{{-8}}}}}{{{{x}^{{-3}}}{{y}^{3}}{{z}^{{-2}}}}}={{x}^{{11}}}{{y}^{1}}{{z}^{{-6}}}$

$\displaystyle \frac{{{{x}^{8}}{{y}^{4}}{{z}^{{-8}}}}}{{{{x}^{{-3}}}{{y}^{3}}{{z}^{{-2}}}}}=\frac{{{{x}^{{11}}}y}}{{{{z}^{6}}}}$

Finalmente:

$\displaystyle \frac{{{{x}^{8}}{{y}^{4}}{{z}^{{-8}}}}}{{{{x}^{{-3}}}{{y}^{3}}{{z}^{{-2}}}}}={{x}^{{11}}}y{{z}^{{-6}}}$

Por lo que la respuesta es el inciso c

Solución:

El primer paso se basaría en el producto notable de la diferencias de cuadrados en el numerador y la multiplicación del conjugado en el denominador:

$\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}-81}}{{\sqrt{x}-3}}$

$\displaystyle \left( {\frac{{\left( {x-9} \right)\left( {x+9} \right)}}{{\sqrt{x}-3}}} \right)\left( {\frac{{\sqrt{x}+3}}{{\sqrt{x}+3}}} \right)$

$\displaystyle \frac{{\left( {x-9} \right)\left( {x+9} \right)\left( {\sqrt{x}+3} \right)}}{{\left( {\sqrt{x}-3} \right)\left( {\sqrt{x}+3} \right)}}$

$\displaystyle \frac{{\left( {x-9} \right)\left( {x+9} \right)\left( {\sqrt{x}+3} \right)}}{{x-9}}$

$\displaystyle \left( {x+9} \right)\left( {\sqrt{x}+3} \right)$

Los pasos que se siguen para racionalizar tienen el orden 1, 5, 4, 3 , 2 ; por lo que la respuesta correcta es el inciso b

Solución:

Se hace una racionalización de raíces cúbicas:

$\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt[3]{x}-3}}{{\sqrt[3]{x}+3}}} \right)\cdot \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}+3\sqrt[3]{x}+9}}{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}-3\sqrt[3]{x}+9}}} \right)\cdot \left( {\frac{{3x+81}}{{x-27}}} \right)$

Factorizar el número 3 del último término del numerador:

$\displaystyle \left( {\frac{{\sqrt[3]{x}-3}}{{\sqrt[3]{x}+3}}} \right)\cdot \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}+3\sqrt[3]{x}+9}}{{\sqrt[3]{{{{x}^{2}}}}-3\sqrt[3]{x}+9}}} \right)\cdot \frac{{3\left( {x+27} \right)}}{{\left( {x-27} \right)}}$

Tanto en el numerador como en el denominador tenemos productos notables. Al realizar el producto notable y eliminar los términos semejantes , resulta lo siguiente:

$\displaystyle \frac{{\left( {x-27} \right)}}{{\left( {x+27} \right)}}\cdot \frac{{3\left( {x+27} \right)}}{{\left( {x-27} \right)}}=3$

Por lo que nuestra respuesta correcta corresponde al inciso c

Solución:

Es importante tener en cuenta los conceptos básicos de los términos empleados, para que sea más fácil deducir cual es la respuesta correcta.

$\displaystyle \left( {b-2} \right)\left( {b+4} \right)$ se trata de un binomio con término común

$\displaystyle {{\left( {7x-4} \right)}^{2}}$ se trata de un binomio al cuadrado

$\displaystyle \left( {3x-2} \right)\left( {3x+2} \right)$ es un binomio conjugado

$\displaystyle {{\left( {n+m} \right)}^{3}}$ es un binomio al cubo

la relación de columnas queda como: 1D, 2A, 3B, 4C

por lo que la respuesta es el inciso c

Solución:

Se desarrolla el binomio al cuadrado:

$\displaystyle {{\left( {{{x}^{{2n+1}}}{{y}^{2}}-\frac{1}{3}{{x}^{2}}{{y}^{{2n-1}}}} \right)}^{2}}={{x}^{{4n+2}}}{{y}^{2}}-\frac{2}{3}{{x}^{{2n+3}}}{{y}^{{2n+1}}}+\frac{1}{9}{{x}^{4}}{{y}^{{4n-2}}}$

Por lo tanto la respuesta le corresponde al inciso c

Solución:

Se multiplican los polinomios:

$\displaystyle \left( {x-4} \right)\left( {{{x}^{2}}+4x+16} \right)={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+16x-4{{x}^{2}}-16x-64={{x}^{3}}-64$

por lo tanto la respuesta le corresponde al inciso c

Solución:

Se realiza la ffactorización del polinomio de los primero dos términos:

$ \displaystyle 6{{m}^{2}}{{n}^{2}}-3{{m}^{2}}ns+2{{m}^{2}}{{s}^{2}}-4{{m}^{2}}ns$

$\displaystyle =\left( {-3{{m}^{2}}n} \right)\left( {s-2n} \right)+2{{m}^{2}}{{s}^{2}}-4{{m}^{2}}ns$

Ahora de los dos últimos términos

$\displaystyle =\left( {-3{{m}^{2}}n} \right)\left( {s-2n} \right)+\left( {2{{m}^{2}}s} \right)\left( {s-2n} \right)$

Factorizando (s - 2n) tenemos:

$\displaystyle ={{m}^{2}}\left( {2s-3n} \right)\left( {s-2n} \right)$

Y la respuesta correcta es el inciso c

Solución:

Se factorizan los polinomios en cada fracción del numerador y denominador, para después reducir, así que factorizando cada expresión nos queda:

$\displaystyle \frac{{2\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x-3} \right)\left( {x+3} \right)}}\cdot \frac{{\left( {5x+1} \right)\left( {x+3} \right)}}{{{{{\left( {x-1} \right)}}^{2}}}}\cdot \frac{{\left( {x+8} \right)\left( {x-3} \right)}}{{\left( {5x+1} \right)\left( {x+8} \right)}}$

Reduciendo tenemos:

$\displaystyle \frac{2}{{x-1}}$

Por lo que la respuesta correcta corresponde al inciso b

Solución:

Se aplica la factorización de diferencia de cuadrados dos veces:

$\displaystyle 16{{x}^{4}}-81{{y}^{4}}$

Primera factorización:

$\displaystyle \left( {4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}}} \right)\left( {4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}} \right)$

Segunda factorización:

$\displaystyle =\left( {2x-3y} \right)\left( {2x+3y} \right)\left( {4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}} \right)$

Por lo que nuesta respuesta corresponde al inciso a