Guía del IPN 2023 Resuelta - Parte 1

Si deseas obtener la guía del IPN 2023 de forma gratuita, y poder leer toda la información para tu preparación para el ingreso a la universidad, la mejor opción sin duda es nuestro sitio web. Aquí veremos expuestos los problemas propuestos por el Instituto Politécnico Nacional en este año 2023, con su solución y más adelante después de haber leído, estudiado y repasado todos los ejercicios en las diversas partes que dividiremos esta publicación, podrás repasar los ejercicios en nuestro sitio, así como diversos ejemplos para poder reforzar los conocimientos adquiridos.
Esto es importante si deseas estudiar:
- Ingeniería y Ciencias Físico Matemáticas
- Ciencias Médico Biológicas
- Ciencias Sociales y Administrativas
En estas secciones vamos abarcar los temas de Pensamiento Matemático. Donde la guía la dividen en secciones tales como sucesiones numéricas, secuencias alfanuméricas, y expresiones generales, que se verán en la primera parte de esta publicación.
y sin más pedir, comenzamos!
Esto abarca desde la página 10 de la guía oficial del Instituto Politécnico Nacional
Solución:
La sucesión se construye sumando a cada término 3/2 para conseguir lo siguiente.
Empezando por 5/2 de esta forma tenemos:
$\displaystyle \frac{5}{2}+\frac{3}{2}=\frac{8}{2}=4$
$\displaystyle 4+\frac{3}{2}=\frac{{11}}{2}$
$\displaystyle \frac{{11}}{2}+\frac{3}{2}=\frac{{14}}{2}=7$
$\displaystyle 7+\frac{3}{2}=\frac{{17}}{2}$
Luego seguimos haciendo lo mismo:
$\displaystyle \frac{{17}}{2}+\frac{3}{2}=\frac{{20}}{2}=10$
$\displaystyle 10+\frac{3}{2}=\frac{{23}}{2}$
y finalmente
$\displaystyle \frac{{23}}{2}+\frac{3}{2}=\frac{{26}}{2}=13$
Por lo que nuestra respuesta es el inciso d
Solución:
La sucesión para ser un poco complicada, pero no lo es, observemos que va de menos a mas.
Si sumamos las potencias enteras de 2, es decir, $\displaystyle {{2}^{n}}$ , donde n = 0, 1, 2 , 3 ,4 ,5 ,6, ...
Como se muestra a continuación al empezar desde -20 sumando $\displaystyle {{2}^{0}}$
Obtenemos lo siguiente:
Para n = 0,
$\displaystyle -20+{{2}^{0}}=-19$
Para n = 1,
$\displaystyle -19+{{2}^{1}}=-17$
Para n = 2,
$\displaystyle -17+{{2}^{2}}=-13$
Para n = 3,
$\displaystyle -13+{{2}^{3}}=-5$
Para n = 4,
$\displaystyle -5+{{2}^{4}}=11$
Para n = 5,
$\displaystyle 11+{{2}^{5}}=43$
Para n = 6,
$\displaystyle 43+{{2}^{6}}=107$
Para n = 7,
$\displaystyle 107+{{2}^{7}}=235$
Por lo que los términos que faltan en la secuencia son -5, 11 y 43 que corresponde al inciso a
Resultado:
La secuencua de números satisface la expresión siguiente:
$\displaystyle {{a}_{n}}=4n-1$
Si probamos para valores de:
$\displaystyle n=1,2,3,4,5,...$
para n = 1,
$\displaystyle {{a}_{1}}=4(1)-1=3$
para n = 2,
$\displaystyle {{a}_{2}}=4(2)-1=7$
para n = 3,
$\displaystyle {{a}_{3}}=4(3)-1=11$
para n = 4,
$\displaystyle {{a}_{4}}=4(4)-1=15$
Ahora probando para n = 12
$\displaystyle {{a}_{{12}}}=4(12)-1=47$
para n = 16
$\displaystyle {{a}_{{16}}}=4(16)-1=63$
Por lo tanto los términos que se piden son 47 y 63 , es decir el incisco b
Solución:
La secuencia se construye sumando $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ a cada término, empezando en $\displaystyle \frac{\pi }{3}$ , es decir:
$\displaystyle \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{{5\pi }}{6}$
$\displaystyle \frac{{5\pi }}{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{{4\pi }}{3}$
$\displaystyle \frac{{4\pi }}{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{{11\pi }}{6}$
$\displaystyle \frac{{11\pi }}{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{{7\pi }}{3}$
$\displaystyle \frac{{7\pi }}{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{{17\pi }}{6}$
$\displaystyle \frac{{17\pi }}{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{{10\pi }}{3}$
Los dos términos que continuan entonces en la secuencia, serían: $\displaystyle \frac{{17\pi }}{6}$ y $\displaystyle \frac{{10\pi }}{3}$
Por lo que la respuesta corresponde al inciso d
Solución:
Para la solución de este ejercicio, basta con ir probando los valores de n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , .... Para darnos cuenta que la única que nos aporta lo que necesitamos es la expresión:
$\displaystyle {{(-1)}^{n}}\left( {\frac{3}{2}n-1} \right)$
intentemos probar con los primeros tres números.
n = 0,
$\displaystyle {{(-1)}^{0}}\left( {\frac{3}{2}(0)-1} \right)=-1$
n = 1,
$\displaystyle {{(-1)}^{1}}\left( {\frac{3}{2}(1)-1} \right)=-\frac{1}{2}$
n = 2,
$\displaystyle {{(-1)}^{2}}\left( {\frac{3}{2}(2)-1} \right)=2$
n = 3,
$\displaystyle {{(-1)}^{3}}\left( {\frac{3}{2}(3)-1} \right)=-\frac{7}{2}$
Por lo que la expresión correcta que producen los valores, es la del inciso d.
Solución:
Para este caso es mucho más sencillo a los ejercicios anteriores, puesto que solamente tenemos que sustituir nuestros valores en la expresión base.
Para n = 1,
$\displaystyle \frac{{2(1)}}{{2(1)+1}}=\frac{2}{3}$
para n = 2,
$\displaystyle \frac{{2(2)}}{{2(2)+1}}=\frac{4}{5}$
para n = 3,
$\displaystyle \frac{{2(3)}}{{2(3)+1}}=\frac{6}{7}$
para n = 4,
$\displaystyle \frac{{2(4)}}{{2(4)+1}}=\frac{8}{9}$
Por lo tanto, podemos observar que la sucesión ordenada que reproduce la expresión está dada por:
$\displaystyle \frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7},\frac{8}{9}$
Es decir, la respuesta del inciso b
Solución:
Para dar solución a este problema, tenemos que fijarnos en los números pares e impartes de la serie de números que tenemos:
8 1 6 3 4 5 2
6 1 4 3 2 5 8
2 1 8 3 6 5 4
observemos que el 1 , 3 y 5 jamás cambian, siempre se mantienen.
Los que van permutando son los números no mencionados y se mueven hacía la izquierda, respetando los números que no cambian, esto nos da la respuesta a este ejercicio. Pues podemos observar que los números que faltan en la sucesión son:
4 1 2 3 8 5 6
y
8 1 6 3 4 5 2
Por lo que la respuesta es el inciso c.
Solución:
Si leemos bien el enunciado, nos daremos cuenta que nos piden dos puntos importantes:
- Que existe una diferencia de 1/5 entre cada elemento.
- Que la suma de los primeros 20 términos es igual a 198
Es decir, que tenemos lo siguiente:
$\displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{{20}}}=198$
$\displaystyle d=\frac{1}{5}$
Cada elemento de la sucesión aritmética se determina por relación de la siguiente fórmula:
$\displaystyle {{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d$
Sustituyendo en la primera suma y cambiando el índice, obtenemos la sumatoria expresada de la siguiente manera:
$\displaystyle \sum\limits_{{i=1}}^{{n=20}}{{{{a}_{i}}}}=198$
En general cada término de la progresión aritmética se obtiene por la expresión $\displaystyle {{{a}_{i}}+(i-1)d}$ sustituyendo en la ecuación anterior:
$\displaystyle \sum\limits_{{i=1}}^{{n=20}}{{\left[ {{{a}_{i}}+(i-1)d} \right]}}=198$
Aplicando las propiedades de sumatorias, obtenemos:
$\displaystyle \sum\limits_{{i=1}}^{{n=20}}{{{{a}_{i}}+d}}\sum\limits_{{i=1}}^{{n=20}}{{(i-1)}}=198$
Y esto nos regresa:
$\displaystyle 20{{a}_{i}}+d\left[ {\frac{{\left( {n-1} \right)n}}{2}} \right]=198$
Sustituyendo:
$\displaystyle 20{{a}_{i}}+\left( {\frac{1}{5}} \right)\left[ {\frac{{\left( {20-1} \right)20}}{2}} \right]=198$
$\displaystyle 20{{a}_{i}}+\left( {\frac{1}{5}} \right)\left[ {\frac{{(19)20}}{2}} \right]=198$
Reduciendo:
$\displaystyle {{a}_{\acute{i}}}=8$
Ahora calculamos el término que se pide sustituir sabiendo que: $\displaystyle d=\frac{1}{5}$ y $\displaystyle {{a}_{i}}=8$
Pero el problema nos pide que busquemos para n = 15, n = 16 y n = 21, entonces:
para n = 15
$\displaystyle {{a}_{{15}}}=8+(15-1)\left( {\frac{1}{5}} \right)=\frac{{42}}{5}$
para n = 16
$\displaystyle {{a}_{{16}}}=8+(16-1)\left( {\frac{1}{5}} \right)=11$
para n = 21
$\displaystyle {{a}_{{21}}}=8+(21-1)\left( {\frac{1}{5}} \right)=12$
Por lo que los valores obtenidos, son los números 42/5, 11 y 12 que corresponde al inciso a
Solución:
Si analizamos cada parte de la sucesión por separado, podremos darnos cuenta del tipo de sucesión que le corresponde, por ejemplo:
$\displaystyle 32,\text{ }47,\text{ }62,\text{ }77,\text{ }92,...$
Si observamos los números aumentan, esto es una forma de sucesión ascendente
Si analizamos el otro patrón:
$\displaystyle 61,122,244,488,...$
Vemos que también es ascedente pero tienen algo en común los números, son el doble del anterior, es decir 61 + 61 = 122, 122 + 122 = 244, entonces en este caso podemos decir que es una sucesión geométrica.
Para los siguientes números
$\displaystyle 135,131,127,123,...$
Vemos a simple vista que se trata de una sucesión decremental, es decir sucesión descedente
y finalmente para los números
$\displaystyle 1,-1,1,-1,...$
Observamos que se trata de una sución Oscilante
Por lo tanto la respuesta es el inciso c
Solución:
La secuencia se obtiene multiplicando cada término por $\displaystyle \sqrt{3}{{e}^{{-1}}}$ , empezando por $\displaystyle \sqrt{3}{{e}^{1}}$
Por lo que probando con cada término, obtenemos:
$\displaystyle \left( {\sqrt{3}{{e}^{1}}} \right)\left( {\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}} \right)=\sqrt{3}\sqrt{3}{{e}^{0}}=3$
$\displaystyle 3\left( {\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}} \right)=3\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}$
$\displaystyle \left( {\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}} \right)\left( {\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}} \right)=9{{e}^{{-2}}}$
$\displaystyle \left( {9{{e}^{{-2}}}} \right)\left( {\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}} \right)=9\sqrt{3}{{e}^{{-3}}}$
$\displaystyle \left( {9\sqrt{3}{{e}^{{-3}}}} \right)\left( {\sqrt{3}{{e}^{{-1}}}} \right)=27{{e}^{{-4}}}$
Por lo que los términos que faltan en la sucesión, son:
$\displaystyle 3\sqrt{3}{{e}^{{-1}}},9{{e}^{{-2}}}$
Por lo que la respuesta fue el inciso b
Esta es la primera parte de la solución de la guía del ipn 2023, continuamos en la siguiente parte.
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