Guía del IPN 2023 Resuelta - Parte 2

Guía del IPN 2023 - Parte 2

Continuamos con los siguientes 10 ejercicios (segunda parte ) de la guía del ipn 2023 resuelta, en este caso estudiamos 10 ejemplos más que están propuestos en la guía.

 Problema 11. Identificar los elementos octavo y noveno de la sucesión siguiente:

$\displaystyle 1,\frac{{1-\sqrt{2}}}{2},\frac{{1+\sqrt{3}}}{2},-\frac{1}{2},...$

Problema 11 del IPN 2023

Solución:

La sucesión es la siguiente:

para n = 1,

$\displaystyle \frac{{1+\sqrt{1}}}{2}=\frac{2}{2}=1$

para n = 2,

$\displaystyle \frac{{1-\sqrt{2}}}{2}$

para n = 3,

$\displaystyle \frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$

para n = 4,

$\displaystyle \frac{{1-\sqrt{4}}}{2}=\frac{{1-2}}{2}=-\frac{1}{2}$

para n = 5,

$\displaystyle \frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$

Podemos observar que el término general que se va obteniendo tiene la forma siguiente:

$\displaystyle {{a}_{n}}=\frac{{1+{{{(-1)}}^{{n+1}}}\sqrt{n}}}{2}$

entonces para el octavo elemento y noveno será:

n = 8,

$\displaystyle \frac{{1+{{{(-1)}}^{{8+1}}}\sqrt{8}}}{2}=\frac{{1-2\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$

n = 9,

$\displaystyle \frac{{1+{{{(-1)}}^{{9+1}}}\sqrt{9}}}{2}=\frac{{1+3}}{2}=\frac{4}{2}=2$

Por lo que la respuesta correcta es el inciso a

 Problema 12. Determinar los primeros 5 elementos de la sucesión que tiene la fórmula general:

$\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{{{(-1)}}^{n}}n\cdot (n-1)}}{{(2n+1)}}$ para $\displaystyle n=1,2,3,...$

Problema 12 del ipn 2023

Solución:

Para determinar los primeros 5 términos de la sucesión basta con sustituir los valores enteros n = 1, 2, 3, ... en la expresión general

$\displaystyle {{S}_{n}}=\frac{{{{{(-1)}}^{n}}n\cdot (n-1)}}{{(2n+1)}}$

De esta forma se tienen los siguientes términos:

n = 1,

$\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{{{{{(-1)}}^{1}}1\cdot (1-1)}}{{(2(1)+1)}}=0$

n = 2,

$\displaystyle {{S}_{2}}=\frac{{{{{(-1)}}^{2}}2\cdot (2-1)}}{{(2(2)+1)}}=\frac{2}{5}$

n = 3,

$\displaystyle {{S}_{3}}=\frac{{{{{(-1)}}^{3}}3\cdot (3-1)}}{{(2(3)+1)}}=-\frac{6}{7}$

n = 4,

$\displaystyle {{S}_{4}}=\frac{{{{{(-1)}}^{4}}4\cdot (4-1)}}{{(2(4)+1)}}=\frac{{12}}{9}=\frac{4}{3}$

n = 5,

$\displaystyle {{S}_{5}}=\frac{{{{{(-1)}}^{5}}5\cdot (5-1)}}{{(2(5)+1)}}=-\frac{{20}}{{11}}$

La sucesión de términos entonces está dada por, $\displaystyle 0,\frac{2}{5},-\frac{6}{7},\frac{4}{3},-\frac{{20}}{{11}}$

Lo que corresponde al inciso c

 Problema 13. Identificar la secuencia que reproduce el término general siguiente:

$\displaystyle {{a}_{n}}=\frac{{{{{(-1)}}^{{2n+1}}}}}{2}\cos \left( {n\pi } \right)+\frac{{{{{(-1)}}^{{2n}}}}}{2}sen\left( {\frac{{\left( {4n+1} \right)}}{2}\pi } \right)$

considerar los valores de:

$\displaystyle n=0,1,2,3,...$

problema 13 del ipn 2023

Solución:

La secuencia al igual que el problema anterior, se consigue sustituyendo los valores de n = 0,1,2,3,... en el término general:

$\displaystyle {{a}_{n}}=\frac{{{{{(-1)}}^{{2n+1}}}}}{2}\cos \left( {n\pi } \right)+\frac{{{{{(-1)}}^{{2n}}}}}{2}sen\left( {\frac{{\left( {4n+1} \right)}}{2}\pi } \right)$

entonces

para n = 0,

$\displaystyle {{a}_{0}}=\frac{{{{{(-1)}}^{1}}}}{2}\cos \left( 0 \right)+\frac{1}{2}sen\left( {\frac{\pi }{2}} \right)=\left( {-\frac{1}{2}} \right)(1)+(\frac{1}{2})(1)=0$

para n = 1,

$\displaystyle {{a}_{1}}=\frac{{{{{(-1)}}^{3}}}}{2}\cos \left( \pi \right)+\frac{1}{2}sen\left( {\frac{{5\pi }}{2}} \right)=\left( {-\frac{1}{2}} \right)(-1)+(\frac{1}{2})(1)=1$

para n = 2,

$\displaystyle {{a}_{2}}=\frac{{{{{(-1)}}^{5}}}}{2}\cos \left( {2\pi } \right)+\frac{1}{2}sen\left( {\frac{{9\pi }}{2}} \right)=\left( {-\frac{1}{2}} \right)(1)+(\frac{1}{2})(1)=0$

para n = 3,

$\displaystyle {{a}_{3}}=\frac{{{{{(-1)}}^{7}}}}{2}\cos \left( {3\pi } \right)+\frac{1}{2}sen\left( {\frac{{13\pi }}{2}} \right)=\left( {-\frac{1}{2}} \right)(-1)+(\frac{1}{2})(1)=1$

para n = 4,

$\displaystyle {{a}_{4}}=\frac{{{{{(-1)}}^{9}}}}{2}\cos \left( {4\pi } \right)+\frac{1}{2}sen\left( {\frac{{17\pi }}{2}} \right)=\left( {-\frac{1}{2}} \right)(1)+(\frac{1}{2})(1)=0$

La secuencia que reproduce el término general es:

$\displaystyle \{0,1,0,1,0,1,...\}$

Por lo tanto la respuesta es el inciso d

 Problema 14. Calcular cuatro números impares consecutivos cuya suma sea 352.

Problema 14 del IPN 2023

Solución:

Planteamos la suma de los cuatro números consecutivos:

$\displaystyle {{n}_{1}}+{{n}_{2}}+{{n}_{3}}+{{n}_{4}}=352$

Pero, nos dice que cada número es impar y además consecutivo, entonces:

$\displaystyle {{n}_{1}}=2n+1$

$\displaystyle {{n}_{2}}=2\left( {n+1} \right)+1$

$\displaystyle {{n}_{3}}=2\left( {n+2} \right)+1$

$\displaystyle {{n}_{4}}=2\left( {n+3} \right)+1$

Sustituyendo en la ecuación principal, tenemos:

$\displaystyle 8n+16=352$

despejando a "n"

$\displaystyle n=42$

De esta forma los números impares consecutivos son:

$\displaystyle {{n}_{1}}=85$

$\displaystyle {{n}_{2}}=87$

$\displaystyle {{n}_{3}}=89$

$\displaystyle {{n}_{4}}=91$

Por lo tanto la respuesta es el inciso c

 Problema 15. Identificar la expresión general que reproduce la sucesión:

$\displaystyle 4,-12,36,-108,324,...$

problema 15 del ipn 2023

Solución:

Para este tipo de ejercicios, es necesario tener que evaluar caa término en las expresiones existentes, para ir descartando cada una y al final quedarnos con la que nos dará la solución correcta. Si probamos sustituir los valores de n = 1,2,3, ... en las expresiones de cada distractor se observa que: d) no reproduce el primer término para n = 1, y de esta forma queda descartado. Así mismo los incisos a) b) quedan descartados porque para n = 1 resulta el término -4

Pero nos queda otro inciso, donde observamos la siguiente expresión:

$\displaystyle {{a}_{n}}=-4{{(-1)}^{n}}{{3}^{{n-1}}}$

tomando los valores enteros:

$\displaystyle n=1,2,3,...$

Probando los primeros valores, para n = 1,

$\displaystyle {{a}_{1}}=-4{{(-1)}^{1}}{{3}^{{1-1}}}=4$

para n = 2,

$\displaystyle {{a}_{2}}=-4{{(-1)}^{2}}{{3}^{{2-1}}}=-4(3)=-12$

para n = 3,

$\displaystyle {{a}_{3}}=-4{{(-1)}^{3}}{{3}^{{3-1}}}=4(9)=36$

para n = 4,

$\displaystyle {{a}_{4}}=-4{{(-1)}^{4}}{{3}^{{4-1}}}=-4(27)=-108$

para n = 5,

$\displaystyle {{a}_{5}}=-4{{(-1)}^{5}}{{3}^{{5-1}}}=4(81)=324$

por lo que la respuesta es el inciso c

 Problema 16. Completar la secuencia:

$\displaystyle III,IX,\_\_,LXXXI,\_\_,DCCXXIX,...$

Problema 16 del ipn 2023

Solución:

Lo primero que debemos de darnos cuenta, es que los números están expresados en romano. Entonces, sabemos que tenemos los números: 3, 9, _, 81, _, 729, ... que se completa con 27 y 243 respectivamente, quedando: 3, 9, 27, 81, 243, 729,...

En esta secuencia se multiplica el número obtenido por los predecesores para obtener los términos antes vistos.

Por lo tanto; los números que faltan son 27 y 243 que corresponden en números romanos a XXVII CCXLIII

y esto corresponde al inciso b

 Problema 17. Completar la secuencia con la figura correcta.

Problema 17 de la guía del ipn 2023

problema 17 del ipn 2023

Solución:

En el arreglo del pentágono incluye palabras de 5 y 4 letras de manera alternada y un orden alfabético en las segunda letra. En orden izquierda a derecha empezando con una de 5 letras la cual es HACHA la siguiente tendrá 4 letras y después de la H tendra E.

HENO, la siguiente tenría que ser e 5 letras; sin embargo, analizano la secuencia de la penúltima figura con 4 letras. Forma la palabra HOLA y la última figura tiene la palabra HUECO con 5 letras, por lo tanto, la palabra que falta como se indicó arriba deberá tener 5 letras y después de la H tiene la letra I. La respuesta es palabra HIMNO en el pentágono.

Respuesta problema 17

Por lo tanto la respuesta es el inciso d

 Problema 18. Identificar los números que faltan en la secuencia del arreglo considerando un orden que va de izquierda a derecha

Círculo de secuencia problema 18 guía del ipn 2023

Problema 18 del ipn 2023

Solución:

Si observamos en la circunferencia pequeña, el número 16 se multiplica por 2 y obtenemos 32, si este mismo número se multiplica por 2, obtenemos 64 y si este último número se multiplica por 2, finalmente obtenemos 128.

La relación que existe con los números exteriores de la otra circunferencia está dado por la raíz cuadrada de los que están internamente. Por ejemplo vemos que arriba el 16 hay un 4. Eso quiere decir que: $\displaystyle \sqrt{{16}}=4$ y en el otro extremo, tenemos; $\displaystyle \sqrt{{64}}=8$ por lo que podemos decir que los extremos izquierda y derecha están dados, por:

$\displaystyle \sqrt{{32}}=\sqrt{{16\cdot 2}}=\sqrt{{16}}\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

y en el lado derecho

$\displaystyle \sqrt{{128}}=\sqrt{{64\cdot 2}}=\sqrt{{64}}\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

Por lo que las respuestas, son: $\displaystyle 4\sqrt{2},8\sqrt{2}$

Es decir, el inciso d

 Problema 19. ¿Qué triángulo falta en la siguiente secuencia?

Problema 19 del ipn 2023 resuelta

Problema 19 del ipn 2023

 

Solución:

Si observamos el número inferior izquierdo del primer triángulo vemos un 2, que multiplicado por 2 nos devuelve un 4 que es el que aparece en el siguiente triángulo, si ese mismo 4 lo multiplicamos por 2, obtendremos un 8 (que sería el triángulo faltante), si ese 8 lo multiplicamos por 2, obtendremos 16 que es justamente el que nos sale al final del último triángulo.

Algo similar ocurre con el número inferior derecho, si multiplicamos el primer número por 5, obtendremos 5 y si lo multiplicamos por 5, obtendremos 25 (en el triángulo faltante) y si finalmente multiplicamos 25 por 5, obtendremos 125 que sería el último número de nuestro triángulo.

En el triángulo del centro tiene una secuencia que se construye sumando los números superior e inferior izquiero y en seguida restando el inferior dedrecho. El término faltante tiene 18 en el triángulo superior, 8 en el triángulo inferior izquierdo y 25 en el inferior derecho.

$\displaystyle 18+8=26$

$\displaystyle 26-25=1$

Por lo que nuestra respuesta es sin duda el inciso d

 Problema 20. ¿Qué secuencia de puntos en el plano reproduce el término general $\displaystyle {{a}_{n}}={{e}^{{-|n|}}}$ ?

para

$\displaystyle n=0,1,2,...$

Problema 20 del ipn 2023

Solución:

a) La primera gráfica no representa una función por lo que está descartada (es más una relación).

b) El rango de la función $\displaystyle R\{{{a}_{n}}\}={{\mathbb{R}}^{+}}$ aún cuando el argumento de la función tenga el valor absoluto.

d) Esta gráfica no corresponde a la función como se señala en b) para el rango.

c) Aquí el ominio de la función es discreto y en esta gráfica si se reproduce la función $\displaystyle {{e}^{{-|n|}}}$

Por lo que la respuesta es el inciso c

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