Guía del IPN 2023 Resuelta - Parte 5
En esta 5ta parte de la guía del ipn 2023 resuelta, se toman en cuenta 40 ejercicios de diversos temas del área de Álgebra por lo que los temas que aquí se desglozan son los siguientes:
2.1 Números reales (propiedades, operaciones básicas y proporciones)
2.2 Expresiones algebraicas (lenguaje algebraico, expresiones fraccionarias, leyes de los exponentes y radicales, productos notables, métodos de factorización)
2.3 Funciones y ecuaciones lineales (concepto de función, propiedades de las igualdades, ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales)
2.4 Funciones y ecuaciones cuadráticas (concepto de función cuadrática, ecuaciones cuadráticas)
Solución:
Los números irracionales y racionales son subconjuntos de los números reales. Los números racionales son aquellos que se pueden escribir de la forma p/q mientras que los irracionales no es posible expresarlos así.
En la expresión se tiene: (irracionales, racionales, reales)
"El conjunto de números irracionales y racionales constituyen a los números reales."
Por lo que la respuesta es el inciso d
Solución:
La propiedad de un elemento neutro multiplicativo hace válida la igualdad como sigue:
$\displaystyle \frac{{10}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{10}}{{\sqrt{5}}}\left( {\frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt{5}}}} \right)=\frac{{10\sqrt{5}}}{{{{{\left( {\sqrt{5}} \right)}}^{2}}}}=2\sqrt{5}$
Por lo que la respuesta es el inciso d
Solución:
Para poder relacionar la igualdad con su propiedad, vamos a partir de la igualdad 2, que por motivos de error de escritura, debería estar escrito de la siguiente manera:
$\displaystyle \left( {2\sqrt{x}+\sqrt{{xy}}} \right)+2z\sqrt{x}=2\sqrt{x}+\left( {\sqrt{{xy}}+2z\sqrt{x}} \right)$
Al observar esta igualdad vemos que se trata de una propiedad asociativa
Después observamos la propiedad 1, que se trata de la propiedad de elemento neutro para la suma
así como también se puede observar la propiedad 3, que racionalizando y multiplicando por el conjugado no es más que el elemento neutro para la multiplicación
finalmente la propiedad 4, donde el factor fuera del paréntesis se distribuye o multiplica cada término dentro del paréntesis, lo cual identifica la propiedad distributiva.
Por lo que la respuesta es el inciso a
Solución:
Primero se identifica que $\displaystyle 1<\frac{2}{{\sqrt{2}}}$ de manera análoga decimos que $\displaystyle \frac{2}{{\sqrt{2}}}<2$
partiendo de la desigualdad $\displaystyle 1<\frac{2}{{\sqrt{2}}}<2$
Al multiplicar por $\displaystyle \sqrt{2}$ obtenemos lo siguiente:
$\displaystyle \sqrt{2}<2<2\sqrt{2}$
Podemos expresar que $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}$ entonces
$\displaystyle \frac{2}{{\sqrt{2}}}<2<2\sqrt{2}$ ...(1)
Analizando $\displaystyle \sqrt[5]{2}={{(2)}^{{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{5}\;}}}<{{(2)}^{{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\sqrt{2}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}$ se tiene:
$\displaystyle \sqrt[5]{2}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}$ ...(2)
Sin embargo; $\displaystyle 1<\sqrt[n]{2}$ con $\displaystyle n\ge 2$, es decir: $\displaystyle 1<\sqrt[5]{2}$ ....(3)
Entonces de (1), (2), (3) se tiene:
$\displaystyle 1<\sqrt[5]{2}<\frac{2}{{\sqrt{2}}}<2<2\sqrt{2}$
Por lo que la respuesta es el inciso d
Solución:
Simplificando los trinomios del numerador:
$\displaystyle \sqrt{{\left( {{{x}^{2}}+6x+9} \right)\left( {x+2} \right)}}\cdot \sqrt{{{{x}^{2}}-x-6}}=\sqrt{{{{{\left( {x+3} \right)}}^{2}}\left( {x+2} \right)}}\cdot \sqrt{{\left( {x+2} \right)\left( {x-3} \right)}}$
obteniendo la raíz cuadrada de los términos del numerador:
$\displaystyle \left( {x+3} \right)\left( {x+2} \right)\sqrt{{x-3}}$
Ahora expresamos el denominador como:
$\displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}-9}}\cdot (x+2)=\sqrt{{(x+3)(x-3)}}\cdot (x+2)$
Entonces el cociente se reduce a:
$\displaystyle \frac{{\left( {x+3} \right)\left( {x+2} \right)\sqrt{{x-3}}}}{{\sqrt{{\left( {x+3} \right)\left( {x-3} \right)}}\cdot \left( {x+2} \right)}}=\sqrt{{x+3}}$
Por lo que la respuesta es el inciso b
Solución:
En la igualdad:
$\displaystyle \frac{{\frac{1}{2}}}{{6x-1}}=\frac{2}{{8x-3}}$
Se pasan los denominadores al numerador
$\displaystyle \frac{1}{2}(8x-3)=2(6x-1)$
reduciendo y acomodando términos se consigue el valor de x
$\displaystyle 8x=\frac{1}{2}$
$\displaystyle x=\frac{1}{{16}}$
Por lo que la respuesta es el inciso c
Solución:
Ambas raíces son cuadradas por lo que al realizar el produce se tiene la raíz del producto:
$\displaystyle \sqrt{{17+2\sqrt{{30}}}}\sqrt{{17-2\sqrt{{30}}}}$
luego
$\displaystyle \sqrt{{\left( {17+2\sqrt{{30}}} \right)\left( {17-2\sqrt{{30}}} \right)}}$
En seguida se sustituye por la diferencia de cuadrados:
$\displaystyle \sqrt{{{{{\left( {17} \right)}}^{2}}-{{{\left( {2\sqrt{{30}}} \right)}}^{2}}}}$
Al final se obtiene:
$\displaystyle \sqrt{{289-4(30)}}=\sqrt{{289-120}}=\sqrt{{169}}=13$
Por lo que la respuesta es el inciso c
Solución:
Partiendo de las funciones
$\displaystyle s(x)=\frac{2}{3}{{x}^{2}}+4x$
$\displaystyle h(x)={{x}^{3}}-2x-3$
primero, evaluamos cada una:
$\displaystyle s(3)=\frac{2}{3}{{(3)}^{2}}+4(3)=18$
$\displaystyle h(2)={{(2)}^{3}}-2(2)-3=1$
Enseguida se realiza la operación indicada:
$\displaystyle s(3)-2h(2)=18-2(1)=16$
Por lo que la respuesta es el inciso b
Solución:
Las fracciones en la columna izquierda tienen una representación decimal periódica:
Fración 1:
$\displaystyle \frac{{13}}{9}=1.444...=1.\bar{4}$ Le corresponde a B.
Fracción 2:
$\displaystyle \frac{{17}}{{11}}=0.636363...=0.\overline{{63}}$ Le corresponde C.
Fracción 3:
$\displaystyle \frac{1}{3}=0.333...=0.\overline{3}$ Le corresponde D.
Fracción 4:
$\displaystyle \frac{{17}}{9}=1.888...=1.\overline{8}$ Le corresponde A.
Por lo que la respuesta es el inciso d
Solución:
Inicialmente se tiene un supervisor por cada 25 empleados. Si la cantidad de empleados es de 300, la cantidad de supervisores que cubre inicialmente a todos los trabajadores es:
Supervisores | Empleados |
1 | 2 |
$\displaystyle {{x}_{1}}$ | 300 |
Es decir:
$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{300}}{{25}}=12$ supervisores
Para mejorar la calidad, se asigna 1 supervisor por cada 15 empleados
Supervisores | Empleados |
1 | 15 |
300 |
Es decir:
$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{300}}{{15}}=20$ supervisores
Entonces, debido a los 300 empleados es necesario contratar 8 supervisores más.
Por lo que la respuesta es el inciso b
Solución:
El mueble con un costo de $1400 tiene 2 años de no haberse vendido y por lo tanto, se le aplicará un descuento del 50%:
$\displaystyle 1400-1400\cdot 0.5=700$ (primer descuento)
Sin embargo, se indica que esta fecha es época navideña por lo que se aplica un 30% de descuento sobre el precio ya rebajado:
$\displaystyle 700-700\cdot 3=490$ (segundo descuento)
Por último, indica que es 31 de diciembre, por lo que se aplicará un descuento extra de 40% al último precio:
$\displaystyle 490-490\cdot 0.4=\$294$
Por lo que la respuesta es el inciso a
Solución:
El tendido de cable es de 20 km en cada caso. Primero se tienen 40 electricistas para cubrir el tendido en 35 días y en seguida se pregunta la cantidad de electricista adicionales que cubrirán el mismo tendido en 25 días. La proporción que guardan los días respecto a la cantidad de electricistas es inversa:
Electricistas | Km | Días |
40 | 20 | 35 |
x | 20 | 25 |
Así se consigue:
$\displaystyle 40\times 35=x\times 25$
Entonces:
$\displaystyle x=\frac{{40\times 35}}{{25}}=56$ electricistas
La cantidad de electricistas que se contratan adicionalmente a los 40 es 16.
Por lo que la respuesta es el inciso b
Solución:
Consideramos dos números arbitrarios: x, y. La duplicidad de la diferencia de estos números es $\displaystyle 2(x-y)$ , con y como el sustraendo. Ahora, la raíz cúbica del sutraendo se escribe como $\displaystyle \sqrt[3]{y}$
Entonces, la expresión "La duplicidad de la diferencia de dos números es tres veces la raíz cúbica del sutraendo" se representa así
$\displaystyle \frac{{2(x-y)}}{{3\sqrt[3]{y}}}$
Por lo que la respuesta es el inciso d
Solución:
Se expresa un número para e impar en lenguaje algebraico, respectivamente:
$\displaystyle x=2n$
$\displaystyle y=2n+1$
La raíz cuadrada del triple de la suma al cuadrado de un número para y uno impar:
$\displaystyle \sqrt{{3{{{(x+y)}}^{2}}}}$
La diferencia de cuadrados de los mismos números:
$\displaystyle {{(x)}^{2}}-{{(y)}^{2}}$
Dividimos entre la diferencia de cuadrados de los mismos números:
$\displaystyle \sqrt{{\frac{{3{{{(x+y)}}^{2}}}}{{(x-y)(x+y)}}}}$
$\displaystyle \sqrt{{\frac{{3{{{(x+y)}}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}$
Sustituyendo las expresiones de par e impar se lllega a:
$\displaystyle \sqrt{{\frac{{3(2n+{{{(2n+1)}}^{2}}}}{{{{{(2n)}}^{2}}-{{{(2n+1)}}^{2}}}}}}$
Por lo que la respuesta es el inciso c
Solución:
Se plantea un sistema de ecuaciones como sigue:
Primera ecuación: Dos números tal que si uno de ellos se suma a la mitad del otro se obtiene 21:
$\displaystyle x+\frac{1}{2}y=21$
Segunda ecuación: La tercera parte negativa de este último (segundo) se suma al doble del primero resultando 18:
$\displaystyle 2x-\frac{1}{3}y=18$
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos los números:
$\displaystyle \begin{array}{l}x=12\\y=18\end{array}$
Por lo que la respuesta es el inciso b
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