Las derivadas parciales juegan un papel muy importante en el área del Cálculo Vectorial o Cálculo Multivariable es importante tener en cuenta que para poder aprender las derivadas parciales, previamente se debe contar con conocimientos de cálculo de una sola variable. Pues son las mismas fórmulas, solo cambian ciertas reglas, pero las habilidades que el alumno desarrolla en cálculo son las mismas.

Derivadas Parciales

Poner mucha atención, En las derivadas parciales ocurre algo muy curioso y es que para derivar parcialmente se hace con respecto a una variable de tal forma que la otra queda constante, es lógico que para tener en cuenta este punto debemos saber derivar respecto a una variable o sea hacer uso del cálculo diferencial. Si sabemos derivar entonces pasemos a resolver el primer ejemplo.

🔸 Ejercicios Resueltos de Derivadas Parciales de Primer Orden

Ejemplo 1. Encuentre las derivadas parciales de la función de primer orden  z (x,y) = x²y – 3xy + 5y   

Solución:

Derivada Parcial Ejemplo 1

Sea entonces la función:

\displaystyle z={{x}^{2}}y-3xy+5y

Derivemos entonces, en este caso nuestra función z, se derivará de las 2 formas: respecto a “x”, y después respecto a “y”, cabe mencionar que, el orden de la derivación no importa, por lo que vamos a derivar primeramente respecto a “x”.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy-3y+0

Si nos damos cuenta se derivó normalmente a x² , y a la variable “y” no la tocamos porque es una constante pero al final dónde tenemos “5y” ahí si afecto puesto que la derivada de una constante es cero.

Como resultado tenemos:

  • Derivada parcial de “z” respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy-3y

  • Derivada parcial de “z” respecto a “y”

Ahora veamos la siguiente derivada, pero ahora respecto a “y”.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}={{x}^{2}}-3x+5

🔹 Resultado:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy-3y;\,\frac{\partial z}{\partial y}=-2y+2x

En este caso, la respuesta está clara; la derivada se ha hecho tomando como una constante la otra variable.

Ejemplo 2. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z = (x³- y²) ‾ ¹ 

Solución:

Derivada Parcial ejemplo 2

Veamos otro ejemplo.

\displaystyle z={{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-1}}

En este caso tenemos una función con un exponente negativo arriba, esto hace que nosotros tomemos la decisión de hacer la derivada por la regla de la cadena es decir aplicar aquella fórmula del cálculo diferencial que dice:

\displaystyle y={{u}^{n}}

Dónde U es una función y n el exponente.

\displaystyle y'=n{{u}^{n-1}}\cdot u'

Entonces aplicándolo en nuestra función, y haciéndolo primero respecto a la variable “x” tenemos:

\displaystyle z={{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-1}}

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}({{x}^{3}}-{{y}^{2}})

Luego tenemos

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot 3{{x}^{2}}

Acomodando …

  • Derivada parcial de “z” respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{3{{x}^{2}}}{{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{2}}}

Ahora debemos hacer lo mismo pero con respecto a la otra variable “y”, si observamos bien; nos damos cuenta que el proceso de la regla de la cadena sigue siendo la misma, que solamente el factor que cambia es la derivación de la función que tiene el exponente.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}({{x}^{3}}-{{y}^{2}})

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot (-2y)

Luego

  • Derivada parcial de “z” respecto a “y”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{2}}}

🔹 Resultado:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{3{{x}^{2}}}{{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{2}}};\,\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{2}}}

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z (x,y) = x² – y² + 2xy + 5 

Solución:

Derivada Parcial 3

Encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “x”, para ello asumimos que “y” es constante. Entonces obtenemos:

  • Derivada parcial de “z” respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x+2y

  • Derivada parcial de “z” respecto a “y”

Del mismo modo, encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “y” y asumimos que “x” es constante. Entonces obtenemos:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-2y+2x

🔹 Resultado:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x+2y;\,\frac{\partial z}{\partial y}=-2y+2x

Ejemplo 4. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z = x^(y) 

Solución:

Derivada Parcial 4

La función a derivar parcialmente es la siguiente:

\displaystyle z={{x}^{y}}

Primeramente encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “x”, por lo que consideramos a “y” constante. Haciendo esto nos encontramos con la derivada de una potencia. Entonces aplicamos:

  • Derivada parcial de “z” respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y\cdot {{x}^{y-1}}

A continuación, encontramos la derivada parcial de “z” respecto a “y”, por lo que consideramos a “x” constante. Por lo que tendremos una derivada exponencial, pues una constante está elevada a una función. Entonces esto nos da:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}={{x}^{y}}\ln x

🔹 Resultado:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y\cdot {{x}^{y-1}};\,\frac{\partial z}{\partial y}={{x}^{y}}\ln x

Ejemplo 5. Encontrar las derivadas parciales de primer orden z = cos² (3x – y²) 

Solución:

Derivada Parcial 5

Para resolver la derivada parcial trigonométrica, es importante que tengamos en cuenta la siguiente igualdad:

\displaystyle {{\cos }^{2}}(3x-{{y}^{2}})={{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{2}}

Son exactamente lo mismo, por lo que la derivación parcial se realizará como una potencia.

  • Derivada parcial de “z” respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2{{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{2-1}}\frac{\partial }{\partial x}\cos (3x-{{y}^{2}})

Luego

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]-\left( 3 \right)sen(3x-{{y}^{2}})

y finalmente ordenando:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-6sen(3x-{{y}^{2}})\cos (3x-{{y}^{2}})

  • Derivada parcial de “z” respecto a “y”

Sigue siendo una derivada de una potencia, lógicamente solo cambia en la derivación respecto a “y”.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2{{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{2-1}}\frac{\partial }{\partial y}\cos (3x-{{y}^{2}})

Luego

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]-\left( -2y \right)sen(3x-{{y}^{2}})

Multiplicando y ordenando

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=4ysen(3x-{{y}^{2}})\cos (3x-{{y}^{2}})

🔹 Resultado:

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=-6sen(3x-{{y}^{2}})\cos (3x-{{y}^{2}})\\\frac{\partial z}{\partial y}=4ysen(3x-{{y}^{2}})\cos (3x-{{y}^{2}})\end{array}

📃 Ejercicios para Practicar de Derivadas Parciales

A continuación se muestran algunos ejercicios resueltos para que usted intente resolverlos. Al final se agrega su respectiva solución, de click en “ver solución” . 😊👇

Problema 6. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Derivadas Parciales

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Problema 7. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Problema de derivada parcial

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Problema 8. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Derivadas Parciales

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Problema 9. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Derivadas parciales

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