Derivadas Parciales – Ejercicios Resueltos

Éste artículo se escribió en el año 2011, hoy después de 6 años hacemos una actualización del artículo y lo complementamos de la mejor manera 😎

Poner mucha atención, En las derivadas parciales ocurre algo muy curioso y es que para derivar parcialmente se hace con respecto a una variable de tal forma que la otra queda constante, es lógico que para tener en cuenta este punto debemos saber derivar respecto a una variable o sea hacer uso del cálculo diferencial. Si sabemos derivar entonces pasemos a resolver el primer ejemplo.

Ejemplo 1:

Sea la función \displaystyle z={{x}^{2}}y-3xy+5y

Derivemos entonces, en este caso nuestra función z, se derivará de las 2 formas: respecto a “x”, y después respecto a “y”, cabe mencionar que, el orden de la derivación no importa, por lo que vamos a derivar primeramente respecto a “x”.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy-3y+0

Si nos damos cuenta se derivó normalmente a x^2 , y a la variable “y” no la tocamos porque es una constante pero al final dónde tenemos “5y” ahí si afecto puesto que la derivada de una constante es cero.

Como resultado tenemos:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy-3y

Ahora veamos la siguiente derivada, pero ahora respecto a “y”.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}={{x}^{2}}-3x+5

En este caso, la respuesta está clara; la derivada se ha hecho tomando como una constante la otra variable.

Ejemplo 2:

Veamos otro ejemplo.

\displaystyle z={{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-1}}

En este caso tenemos una función con un exponente negativo arriba, esto hace que nosotros tomemos la decisión de hacer la derivada por la regla de la cadena es decir aplicar aquella fórmula del cálculo diferencial que dice:

\displaystyle y={{u}^{n}}

Dónde U es una función y n el exponente.

\displaystyle y'=n{{u}^{n-1}}\cdot u'

Entonces aplicándolo en nuestra función, y haciéndolo primero respecto a la variable “x” tenemos:

\displaystyle z={{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-1}}

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot \frac{\partial }{\partial x}({{x}^{3}}-{{y}^{2}})

Luego tenemos

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot 3{{x}^{2}}

Acomodando …

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{3{{x}^{2}}}{{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{2}}}

Ahora debemos hacer lo mismo pero con respecto a la otra variable “y”, si observamos bien; nos damos cuenta que el proceso de la regla de la cadena sigue siendo la misma, que solamente el factor que cambia es la derivación de la función que tiene el exponente.

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot \frac{\partial }{\partial y}({{x}^{3}}-{{y}^{2}})

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{-2}}\cdot (-2y)

Luego

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{{{({{x}^{3}}-{{y}^{2}})}^{2}}}

Con esto concluimos el ejemplo número 2.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3:

En este ejemplo usamos la siguiente función:

\displaystyle z=4{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+8x

Su solución está hecha en un video que grabamos hace algunos años.

 

3 Comments
  1. Anónimo
    mayo 31, 2011 | Responder
  2. Anónimo
    junio 10, 2011 | Responder
  3. junio 11, 2011 | Responder

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