Este problema fue elegido del libro de Cálculo de Varias Variables del libro de Thomas, decimosegunda edición. Página 772, ejercicios 14.3

Nivel de dificultad: ⭐⭐

Problema 7. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Derivadas Parciales

Solución:

Al observar la función de dos variables, vemos que se trata del producto de dos funciones y por lo tanto se derivará como un producto, dejando claro que primero se derivará respecto a una variable y después a la otra.

Entonces, comenzamos por derivar respecto a “x”.

  • Derivando a f (x,y) respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}sen(x+y)+sen(x+y)\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)

Haciendo las derivadas correspondientes, obtendremos lo siguiente:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={{e}^{-x}}\left[ (1)cos(x+y) \right]+sen(x+y)\left( -{{e}^{-x}} \right)

Simplificando, obtendríamos:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={{e}^{-x}}\cos (x+y)-{{e}^{-x}}sen(x+y)

Factorizando al exponencial , obtenemos:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={{e}^{-x}}\left[ \cos (x+y)-sen(x+y) \right]

  • Derivando a f (x,y) respecto a “y”

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}sen(x+y)+sen(x+y)\frac{\partial }{\partial y}\left( {{e}^{-x}} \right)

La derivada de la exponencial elevada a la menos “x”, nos dará cero porque sería derivar una constante. Entonces esto se simplifica de la siguiente forma:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}sen(x+y)

Esto nos daría:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}={{e}^{-x}}\left[ (1)\cos (x+y) \right]

Finalmente esto nos da:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}={{e}^{-x}}\cos (x+y)

🔹 Resultado:

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={{e}^{-x}}\left[ \cos (x+y)-sen(x+y) \right]\\\frac{\partial f(x,y)}{\partial \acute{y}}={{e}^{-x}}\cos (x+y)\end{array}