Este problema fue elegido del libro de Cálculo de Varias Variables del libro de Thomas, decimosegunda edición. Página 772, ejercicios 14.3

Nivel de dificultad: ⭐⭐

Problema 8. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Derivadas parciales

Solución:

Al analizar la función de dos variables, vemos que se trata realmente de una potencia, por lo cual se derivará basándonos en dicha regla. Pero primero veamos la siguiente igualdad.

\displaystyle z=se{{n}^{2}}(x-3y)={{\left[ sen(x-3y) \right]}^{2}}

Entonces, comenzamos a derivar respecto a “x”.

  • Derivando a f (x,y) respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2{{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{2-1}}\frac{\partial }{\partial x}\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]

Derivando

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2{{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{1}}\left[ -(3)sen(3x-{{y}^{2}}) \right]

Finalmente obtenemos:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-6sen(3x-{{y}^{2}})cos(3x-{{y}^{2}})

  • Derivando a f (x,y) respecto a “y”

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2{{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{2-1}}\frac{\partial }{\partial y}\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]

Derivando

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2{{\left[ \cos (3x-{{y}^{2}}) \right]}^{1}}\left[ -(-2y)sen(3x-{{y}^{2}}) \right]

Es decir que finalmente, obtenemos:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=4ysen(3x-{{y}^{2}})cos(3x-{{y}^{2}})

🔹 Resultado:

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=-6sen(3x-{{y}^{2}})cos(3x-{{y}^{2}})\\\frac{\partial z}{\partial y}=4ysen(3x-{{y}^{2}})cos(3x-{{y}^{2}})\end{array}