Este problema fue elegido del libro de Cálculo de Varias Variables del libro de Thomas, decimosegunda edición. Página 772, ejercicios 14.3

Nivel de dificultad: ⭐⭐

Problema 6. Resuelva la siguiente derivada parcial, encuentre ∂z/∂x , ∂z/∂y  

Problema de derivada parcial

Solución:

SI observamos la función de dos variables, podemos apreciar que por propiedades de las potencias podemos colocar a la raíz de las funciones, elevándolas a la 1/2, es decir:

\displaystyle f(x,y)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}

Teniendo en cuenta esto, podemos realizar la derivada parcial de z como una potencia. Entonces:

  • Derivando a f (x,y) respecto a “x”

Entonces:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)

Aplicando la respectiva derivada:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}(2x)

Simplificando.

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=x{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}

Qué también lo podemos expresar de esta forma:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}

Finalmente.

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}

  • Derivando a f (x,y) respecto a “y”

Bien, entonces colocamos la derivada de la potencia de esta forma:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}-1}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)

Aplicando la derivada:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{1}{2}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}(2y)

Simplificando

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}(y)

Que lo podemos expresar de esta forma:

\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{y}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}=\frac{y}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}

🔹 Resultado:

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\end{array}