Ángulo entre dos Vectores - Ejercicios Resueltos

En la introducción del álgebra lineal es importante aprender a calcular el ángulo entre dos vectores, bien pueden ser vectores en el plano o en el espacio, si son en el espacio tenemos que aprender sobre los cosenos directores, aunque para ambos tendremos que recurrir a un proceso diferente, pero para el cálculo de dos vectores en el plano  solamente debemos tener en cuenta la fórmula  y una que otra regla que nos ayudará a diferenciar si los vectores son paralelos o no. Bien para ello comencemos viendo la siguiente representación gráfica y después en definir la fórmula correspondiente. 😎

Sean entonces u y v dos vectores que son diferentes de cero. Si es el ángulo entre ambos es φ , podemos decir que:

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}$

En la fórmula podemos apreciar que existen dos procesos para el cálculo del ángulo entre los vectores, en la parte del numerador tenemos el producto punto o producto escalar  que si bien recordamos, es un proceso similar al de las matrices, es decir; todo lo que está en "x" se multiplica por "x" y se le suma la componente de "y" por el producto de la otra "y", pero claro; esto quedará mejor entendible cuando hagamos los ejemplos resueltos. Entonces, como segunda parte tenemos al denominador, dónde iremos colocando la magnitud de cada vector y después multiplicarlos. Pero repito, será mejor realizar los ejemplos 😀

📃 Ejercicios Resueltos de ángulos entre dos vectores

Solución: 

Realizamos un pequeño bosquejo de los dos vectores, recordemos que; lo que está en i es lo que está en "x" y lo que está en j es lo que hay en "y".

Aplicando nuestra fórmula tenemos lo siguiente:

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(4i+2j)(i+4j)}{\left( \sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}} \right)}$

Sino recuerdas como calcular la magnitud entre vectores, puedes dar click aquí y repasar ésta parte.

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{4+8}{\sqrt{20}\sqrt{17}}=\frac{12}{\sqrt{340}}=0.6508$

Aplicamos el arco-coseno o coseno a la menos 1. (el cálculo lo haremos en "degradianes").

$latex \displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( 0.6508 \right)=49.4{}^\circ $

Qué sería el ángulo que hay entre los vectores del ejemplo 1. Esto ha sido muy, pero muy fácil. Veamos otro ejemplo.

Solución: 

Nuevamente tenemos que realizar un bosquejo, para que entendamos bien la magnitud del ángulo que tendremos, así que veamos:

Aplicando nuevamente nuestra fórmula tenemos:

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(2i+3j)(-6i+2j)}{\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)}$

Procedemos a realizar las operaciones del numerador y denominador:

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{-12+6}{\sqrt{13}\sqrt{40}}=\frac{-6}{\sqrt{520}}=-0.2631$

Aplicando arco-coseno:

$latex \displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( -0.2631 \right)=105.26{}^\circ $

Qué sería el ángulo entre ambos vectores.

Pues bien, hasta ahora todo ha salido bien, sin embargo hay un caso del que debemos darnos cuenta, y se trata de cuando los vectores son totalmente paralelos ¿cómo nos damos cuenta?, pues todo depende del cálculo, observemos el caso 3.

Vectores Paralelos

Puede que existe un caso muy particular, y no nos demos cuenta, pero el resultado será más que obvio. Analicemos el siguiente problema.

Solución: 

Por lógica al momento de hacer la gráfica de los vectores nos daremos cuenta que son vectores paralelos , por lo que vamos a guiarnos solamente con la fórmula:

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(2i-3j)(-4i+6j)}{\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{6}^{2}}} \right)}$

Aplicando el proceso del producto escalar en el numerador y la magnitud en el denominador.

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{-8-18}{\sqrt{13}\sqrt{52}}=\frac{-26}{\sqrt{676}}=-\frac{26}{26}=-1$

Aplicando el arco-coseno.

$latex \displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( -1 \right)=180{}^\circ $

Por lo que podemos decir que el ángulo entre ambos vectores es de 180°, o sea son totalmente paralelos. Recordemos que estos vectores forman en radianes el valor de π.

Vectores Perpendiculares u Ortogonales

Existe también el caso que tengamos dos vectores a 45°, es decir perpendiculares entre si, u ortogonales.

Veamos el siguiente ejemplo:

Solución: 

Ahora, pasemos a calcular el área entre ambos vectores:

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{u\cdot v}{\left| u \right|\left| v \right|}=\frac{(3i+4j)(-4i+3j)}{\left( \sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}} \right)\left( \sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{3}^{2}}} \right)}$

Aplicando producto punto o escalar y magnitud.

$latex \displaystyle \cos \varphi =\frac{-12+12}{\sqrt{25}\sqrt{25}}=\frac{0}{\sqrt{625}}=\frac{0}{25}=0$

Aplicando el arco coseno

$latex \displaystyle \varphi ={{\cos }^{-1}}\left( 0 \right)=90{}^\circ $

De aquí podemos establecer lo siguiente:

¿Ha sido claro? Esperamos qué si, cualquier duda, escribrirla en la caja de comentarios 😎

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