Dentro de nuestro estudio del Cálculo Diferencial, nos encontramos con temas de gran relevancia como el concepto e introducción de ✅ Límite. Desde su uso, su aplicación y la gran importancia que tiene para entender no solo el cálculo diferencial, sino también al Cálculo Integral. 

🤔 ¿A qué se le llama límite?

Podemos definir al límite de una función de la siguiente forma:

El límite de una función es el valor al que f(x) se acerca a medida que x se aproxima a algún número.

Pero para entenderlo de mejor manera, vamos a ver un ejemplo y lo comprenderemos en su totalidad 😊

Veamos la gráfica de la siguiente función, y examinemos los puntos donde x está “cerca” de x = 6. Comenzaremos con puntos donde x es menor que 6.

\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}x-4

Definición de LímiteObserve que a medida que los valores de x se acercan a 6, los valores de la función parecen estar acercándose a y = 4. Ahora, veamos los puntos en la función donde x es mayor que 6.

Definición de límite

Nuevamente corroboramos que cuanto más nos acercamos a x = 6, más cerca estaba la función de y = 4.

Definición de Límite en Cálculo

Y es lógico, dado que f(6) = 4, esto puede no parecer sorprendente. Sin embargo, esta es la idea de un límite.

\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}x-4

\displaystyle f(6)=\frac{4}{3}(6)-4=\frac{24}{3}-4=8-4=4

\displaystyle f(6)=4

Finalmente, al límite lo podemos resumir de esta manera:

A medida que x se acerca a un número en particular, ¿a qué se acerca la función?

👉 Notación de Límite

Los matemáticos tienen una notación especial para indicar que están trabajando con valores de límite. Por ejemplo, la respuesta al ejemplo anterior se escribiría así:

Notación de límite

💡 Otro ejemplo de Límite de una función

Supongamos que tenemos la siguiente función:

\displaystyle f(x)=\frac{senx}{x}

Si nos piden calcular cuál es el límite de esa función cuando x tiende a cero. ¿Qué diríamos al respecto?

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)

Es algo tentador simplemente conectar x = 0 para intentar obtener una respuesta, pero si intentamos hacerlo, vamos a obtener lo siguiente:

\displaystyle f(0)=\frac{sen(0)}{0}=\frac{0}{0}=indefinido

Nos damos cuenta que obtenemos una respuesta indefinida, porque no podemos realizar una división sobre cero.

Aunque la función no está definida cuando x = 0, aún podemos responder la pregunta utilizando el límite.

Las siguientes dos tablas nos ayudarán a entender qué sucede cuando estamos cerca de x = 0.

👉 Cuando damos valores de “x” acercándose a cero, pero empezando de lado izquierdo del plano.

tabulación de límite

👉 Cuando damos valores de “x” acercándose a cero, pero empezando de lado derecho del plano.

Valores de límite positivo

En ambas tablas, cuanto más se acerca está de 0, más cerca parece estar en f(x) = 1. Ahora, echemos un vistazo a la gráfica de la función principal, solo para verificarla visualmente.

Gráfica del Seno

Al igual que en las tablas, la gráfica muestra que a medida que nos acercamos a x = 0, ¡el valor de y parece que se está acercando a 1!, podemos usar entonces la notación matemática del límite de la siguiente forma:

Límite notable del seno de x sobre x

⚠ Tener mucho cuidado con el concepto de límite

❌ Si observamos nuevamente el límite, no significa que f(x) = 1 cuando x = 0

✅ Nos está diciendo que f(x) se está acercando a 1 cuando x se acerca a 0

🔥 Aclaración importante del Límite de Ejemplo

Volvamos a ver las tablas del ejemplo anterior, y respondamos la siguiente pregunta:

En el segundo ejemplo, dijimos que f(x) parecía estar acercándose a 1. ¿Pero no están también acercándose a 0.9999999? Entonces, ¿cuál es la verdad? 🤔

Comparación de límites

Ese es el problema con el uso de tablas de valores (y tenemos el mismo problema con los gráficos). ¡No son lo suficientemente precisos para obtener una respuesta exacta!

Hay formas de determinar los valores de límite con precisión, pero esas técnicas se tratan en lecciones posteriores. Por ahora, es importante recordar que, al usar tablas o gráficos, lo mejor que podemos hacer es estimar.

En consecuencia, según las tablas y los gráficos, las respuestas a los dos ejemplos anteriores deben ser:

Ejemplo de notación de límites