Análisis cinemático de engranajes fijos en trenes mecánicos

Los trenes de engranajes son componentes esenciales en numerosas máquinas y mecanismos, permitiendo la transmisión eficiente del movimiento y la fuerza. El análisis cinemático de estos sistemas es crucial para entender cómo funcionan y optimizar su rendimiento. En este artículo, profundizaremos en cómo llevar a cabo este análisis, desde los conceptos básicos hasta ejemplos prácticos. Acompáñame en este recorrido técnico que, sin duda, enriquecerá tus conocimientos sobre el tema.

Módulo de un engranaje

Para que dos engranajes funcionen correctamente, es fundamental que tengan el mismo módulo. Este módulo, denotado como (m), es una medida geométrica que relaciona el diámetro primitivo (d) de un engranaje con el número de dientes (z).

La relación se expresa mediante la fórmula:

[
m = frac{d}{z}
]

En términos simples, un mayor módulo implica un mayor diámetro de la rueda, siempre que el número de dientes se mantenga constante. El módulo indica el espaciado de los dientes en el engranaje, lo que es crucial para que los engranajes se engranen adecuadamente sin que los dientes choquen. Si los módulos son diferentes, el engranaje no funcionará de manera eficiente, lo que puede llevar a fallos en el mecanismo.

Velocidad en el punto de contacto

En el análisis de engranajes, es importante considerar la velocidad lineal en el punto de contacto entre los engranajes. Utilizaremos la palabra «engranaje» de aquí en adelante para referirnos a cualquier rueda o piñón.

La velocidad en el engranaje A, (V_A), se calcula multiplicando la velocidad angular (omega_A) por el radio (r_A):

[
V_A = omega_A cdot r_A
]

De manera similar, la velocidad lineal en el engranaje B, (V_B), se obtiene de:

[
V_B = omega_B cdot r_B
]

Dado que en el punto de contacto la velocidad debe ser la misma, podemos establecer que:

[
V_A = V_B
]

Esto también puede expresarse en términos del número de dientes:

[
omega_A cdot z_A = omega_B cdot z_B
]

Esta relación muestra que la velocidad de rotación de los engranajes está definida por el número de dientes de cada uno. La velocidad de giro del engranaje B, en función de A, se expresa como:

[
omega_B = pm omega_A cdot frac{z_A}{z_B}
]

El signo (pm) indica la dirección de giro: si son engranajes exteriores, girarán en direcciones opuestas; si son internos, girarán en la misma dirección.

Velocidad de salida de un tren de engranajes fijos

Cuando se añade un tercer engranaje C que engrana con B, la velocidad de C se determina a partir de la velocidad de B:

[
omega_C = pm omega_B cdot frac{z_B}{z_C}
]

Al sustituir la velocidad de B en función de A, obtenemos:

[
omega_C = pm omega_A cdot frac{z_A}{z_B} cdot frac{z_B}{z_C}
]

Si extendemos este proceso para un tren de engranajes con cinco engranajes, de A a E, la velocidad de salida en E se calcularía como:

[
omega_E = pm omega_A cdot frac{z_A}{z_B} cdot frac{z_B}{z_C} cdot frac{z_C}{z_D} cdot frac{z_D}{z_E}
]

Analizando esta fórmula:

• El numerador contiene los dientes de los engranajes conductores.
• El denominador está formado por los dientes de los engranajes conducidos.

En general, podemos representar la relación de velocidad en un tren de engranajes como:

[
omega_s = pm omega_e cdot frac{prod z_{conductores}}{prod z_{conducidos}}
]

Esto permite simplificar el cálculo de la velocidad de salida en función de la entrada y la relación del número de dientes entre el primer y el último engranaje:

[
omega_E = pm omega_A cdot frac{z_A}{z_E}
]

Recuerda que el signo depende de la dirección de giro relativa entre los engranajes.

Ejercicio práctico: cálculo de velocidad y sentido de giro

Consideremos un ejemplo donde queremos determinar la velocidad y dirección de giro del engranaje F, dado que el engranaje A gira a 200 rpm en sentido horario.

En este sistema, observamos que hay dos conjuntos: A-C y D-F, donde C y D están acoplados en el mismo eje. Esto implica que giran a la misma velocidad.

Analicemos el sentido de giro:

• El sentido de A es positivo (+), horario.
• B gira en sentido antihorario (-) debido a su engranaje externo con A.
• C gira en sentido horario (+) por engranaje externo con B.
• D, al estar acoplado a C, también gira en sentido horario (+).
• E gira en sentido antihorario (-) por engranaje externo con D.
• F gira en sentido horario (+) por engranaje externo con E.

Por lo tanto, el sentido de giro de F coincide con el de A, que es horario.

Para calcular la velocidad de F, utilizamos los engranajes conductores y conducidos. La velocidad de F se calcularía como:

[
omega_F = omega_A cdot frac{z_A}{z_B} cdot frac{z_B}{z_C} cdot frac{z_D}{z_E} cdot frac{z_E}{z_F}
]

Al sustituir los valores:

[
omega_F = omega_A cdot frac{z_A cdot z_D}{z_C cdot z_F} = 200 cdot frac{40 cdot 20}{10 cdot 20} = 800 text{ rpm}

Así, la velocidad de salida del tren es de 800 rpm, manteniendo el mismo sentido de giro que la entrada.

Para quienes deseen profundizar aún más en el análisis de trenes de engranajes, les invito a visualizar el siguiente vídeo, que presenta más ejemplos y animaciones sobre este fascinante tema.

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