Problema del Módulo de Young

Hace poco en el blog de FIsimat recordábamos que en el siglo XVII el físico Robert Hooke publicó un artículo que mencionaba que el esfuerzo era directamente proporcional a la deformación unitaria; por eso se le atribuye como la Ley de Hooke .

Esos estudios de deformaciones elásticas, alargamientos, compresiones, torsiones y flexiones, fueron parte del gran estudio que nos aportó Hooke

Matemáticamente esto quiere decir que:

$\displaystyle \sigma \propto \varepsilon $

Donde:

$\displaystyle \sigma $ es esfuerzo unitario

$\displaystyle \varepsilon $ es deformación unitaria

Recordemos que cuando algo es directamente proporcional, siempre hay una constante que se involucra en la ecuación. Así pasó el tiempo, hasta llegar el siglo XIX con el físico inglés Thomas Young al que se le atribuye de encontrar la constante de proporcionalidad y adjudicado dicho descubrimiento a su fórmula como el módulo de elasticidad o módulo de Young.

quedando así finalmente la siguiente fórmula.

$\displaystyle \sigma =E\varepsilon $

Ahora veamos que algunos libros manejan al módulo de Young mediante la literal "Y", por lo que en algunas fórmulas también la vamos a encontrar de la siguiente forma:

$\displaystyle Y=\frac{F\cdot L}{A\cdot \Delta L}$

dónde:

F = La fuerza aplicada.
A = Área de la sección transversal
$\displaystyle \Delta L$ = Incremento de la longitud
$\displaystyle {{L}_{0}}$ = Longitud Inicial
Y = Módulo de elasticidad o Módulo de Young

También existe otro estudio muy importante en el Módulo de Young, que es el límite elástico, el límite elástico representa la magnitud del esfuerzo máximo alcanzado por un cuerpo sin que pierda sus propiedades elásticas, y se calcula mediante la siguiente expresión matemática.

$\displaystyle Le=\frac{Fm}{A}$

Dónde:

Le = límite elástico en N/m^2

Fm = magnitud de la fuerza máxima en newtons (N)

A = área de la sección transversal en metros cuadrados

📈 Cuadro del Módulo de Young y Límite Elástico para algunos Materiales

Material	Módulo de Young (Y) N/m2	Límite Elástico (Le) N/m2
Aluminio en lámina
Acero templado
Latón
Cobre
Hierro
Oro

📃 Ejemplos Resueltos del Módulo de Young

Solución: 

Si lo primero qué nos piden es calcular el esfuerzo, entonces recordemos lo siguiente; el esfuerzo no es más que la presión misma, es decir la cantidad de fuerza que actúa sobre cierta área, entonces escribimos.

$\displaystyle \sigma =\frac{F}{A}=\frac{m\cdot g}{A}=\frac{(500kg)(9.8\frac{m}{{{s}^{2}}})}{6x{{10}^{-5}}{{m}^{2}}}=8.17x{{10}^{7}}Pa$

Hasta este punto hemos encontrado el inciso a) es decir el esfuerzo.

Ahora procedemos a calcular la deformación unitaria.

$\displaystyle \varepsilon =\frac{\Delta L}{L}=\frac{6x{{10}^{-3}}m}{4m}=1.5x{{10}^{-3}}$

Bien, bien!! Ahora tenemos que calcular el Módulo de Young de la siguiente manera:

$\displaystyle Y=E=\frac{\sigma }{\varepsilon }=\frac{8.17x{{10}^{7}}Pa}{1.5x{{10}^{-3}}}=5.44x{{10}^{10}}Pa$

Con esto obtenemos el Módulo de Young o Módulo de elasticidad.

Respuesta:

$\displaystyle \sigma =8.17x{{10}^{7}}Pa$

$\displaystyle \varepsilon =1.5x{{10}^{-3}}$

$\displaystyle Y=5.44x{{10}^{10}}Pa$

Solución: 

Este caso es un poco diferente al anterior, puesto que el área del cable no la tenemos, solo tenemos un pequeño dato que nos proporciona el diámetro, pero sabemos que sabiendo el diámetro de cualquier objeto, podemos entonces calcular el área. Así que nuestro primer paso será encontrar el área.

Pasando a metros el diámetro tenemos:

$\displaystyle d=2.6mm=2.6x{{10}^{-3}}m$

Ahora calculando el área con la fórmula de:

$\displaystyle A=\frac{\pi {{d}^{2}}}{4}=\frac{\pi {{(2.6x{{10}^{-3}}m)}^{2}}}{4}=5.3x{{10}^{-6}}{{m}^{2}}$

Listo 😎

Ahora podemos seguir calculando el esfuerzo, para ello aplicamos la fórmula:

$\displaystyle \sigma =\frac{F}{A}=\frac{400N}{5.3X{{10}^{-6}}{{m}^{2}}}=75.47x{{10}^{6}}Pa$

Ahora sigue el paso de la deformación unitaria, y eso es fácil así que:

$\displaystyle \varepsilon =\frac{\Delta L}{L}=\frac{12x{{10}^{-3}}m}{3m}=4x{{10}^{-3}}$

Recordemos que la cantidad de la deformación unitaria, por ahora es adimensional. (no tiene dimensión).

$\displaystyle Y=\frac{F\cdot L}{A\cdot \Delta L}=\frac{\sigma }{\varepsilon }=\frac{75.47x{{10}^{6}}Pa}{4x{{10}^{-3}}}=18.87x{{10}^{9}}Pa$

Qué sería el Módulo de Young

Respuesta:

$\displaystyle \sigma =75.47x{{10}^{6}}Pa$

$\displaystyle \varepsilon =4x{{10}^{-3}}$

$\displaystyle Y=18.87x{{10}^{9}}Pa$