Solución 2 de Límite Trigonométrico Indeterminado

A continuación se muestra un ejemplo de resuelto del problema 2 de Límites Trigonométricos Indeterminados. 

Nivel de Dificultad: ⭐⭐

Solución:

Hasta este punto, ya se ha comprendido que para darle solución a algunos límites que al evaluarnos nos dan una indeterminación de 0/0. Tenemos que recurrir a límites notables para evitarnos problemas.

♦ Usando la siguiente identidad trigonométrica

$latex \displaystyle senx-seny=2sen\frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$

Del límite principal observamos que si lo evaluamos, vamos a obtener una indeterminación de 0/0. Así que para darle solución, vamos a sustituir la identidad trigonométrica en el numerador:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen5x-sen3x}{senx}=\frac{2sen\frac{5x-3x}{2}\cos \frac{5x+3x}{2}}{senx}$

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen5x-sen3x}{senx}=\frac{2sen\frac{2x}{2}\cos \frac{8x}{2}}{senx}$

Simplificando

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen5x-sen3x}{senx}=\frac{2senx\cos 4x}{senx}$

Obtenemos:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen5x-sen3x}{senx}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,2\cos 4x=2\cos (4\cdot 0)=2\cos (0)=2(1)=2$

Resultado:

$latex \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sen5x-sen3x}{senx}=2$